1、1第 4 讲 电学中的曲线运动网络构建备考策略1.掌握解决电学中曲线运动的一个宗旨是将电学问题力学化。2.解题思路：画出粒子的运动草图 结合几何关系找到相应的物理量。带电粒子(或带电体)在电场中的曲线运动带电粒子在匀强电场中的曲线运动【典例 1】 (2015新课标全国卷，24)如图 1 所示，一质量为 m、电荷量为 q(q0)的粒子在匀强电场中运动， A、 B 为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在 A 点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为 60；它运动到 B 点时速度方向与电场方向的夹角为 30。不计重力。求 A、 B 两点间的电势差。图 1解析 设带电粒子在 B 点的速度大小为 vB。粒
2、子在垂直于电场方向的速度分量不变，即vBsin 30 v0sin 60由此得 vB v03设 A、 B 两点间的电势差为 UAB，由动能定理有2qUAB m(v v )12 2B 20联立式得 UAB答案 【典例 2】 (2018全国卷，25)如图 2，在 y0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场，场强大小为 E；在 y0)的带电小球 M、 N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知 N 离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时的动能的 1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大
3、小为 g。求：图 3(1)M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比；(2)A 点距电场上边界的高度；(3)该电场的电场强度大小。解析 (1)设小球 M、 N 在 A 点水平射出时的初速度大小为 v0，则它们进入电场时的水平速度仍然为 v0。 M、 N 在电场中运动的时间 t 相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为 a，在电场中沿水平方向的位移分别为 s1和 s2。由题给条件和运动学公式得v0 at0s1 v0t at212s2 v0t at2125联立式得 3s1s2(2)设 A 点距电场上边界的高度为 h，小球下落 h 时在竖直方向的分速度为 vy，由运动学公式v 2 gh2yH
4、 vyt gt212M 进入电场后做直线运动，由几何关系知 v0vy s1H联立式可得h H13(3)设电场强度的大小为 E，小球 M 进入电场后做直线运动，则 v0vy qEmg设 M、 N 离开电场时的动能分别为 Ek1、 Ek2，由动能定理得Ek1 m(v v ) mgH qEs112 20 2yEk2 m(v v ) mgH qEs212 20 2y由已知条件Ek11.5 Ek2联立 式得E 2mg2q答案 (1)31 (2) H (3)13 2mg2q1.(多选)在竖直向上的匀强电场中，有两个质量相等、带异种电荷的小球 A、 B(均可视为质点)处在同一水平面上。现将两球以相同的水平速
5、度 v0向右抛出，最后落到水平地面上，运动轨迹如图 4 所示，两球之间的静电力和空气阻力均不考虑，则( )6图 4A.A 球带正电， B 球带负电B.A 球比 B 球先落地C.在下落过程中， A 球的电势能减少， B 球的电势能增加D.两球从抛出到各自落地的过程中， A 球的速率变化量比 B 球的小解析 两球均做类平抛运动，水平方向上有 x v0t，竖直方向上有 h at2，得加速度大12小 a ，可见水平距离 x 越大，加速度 a 越小，相应所用时间 t 越长，即 B 球先落地，A 球的加速度 a1小于 B 球的加速度 a2，说明 A 球带正电而受到竖直向上的电场力， B 球带负电而受到竖直
6、向下的电场力，在下落过程中，电场力对 A 球做负功， A 球电势能增加，电场力对 B 球做正功， B 球电势能减少，选项 A 正确，B、C 均错误；根据动能定理有mah mv2 mv ，而 v v v0，可见加速度 a 越大，落地速率 v 越大，速率变化量 v12 12 20越大，即 A 球的速率变化量较小，选项 D 正确。答案 AD2.如图 5 所示，在竖直平面内，有一长 L0.6 m 的固定竖直杆 AB 和光滑固定圆弧轨道CD，半径 OD 竖直，半径 OC 与竖直方向的夹角 37 ， D 点的高度 h m， BM 垂直53962水平地面于 M 点。 B 点所在的水平面上方存在着场强大小 E
7、12.510 6 N/C、方向水平向右的匀强电场，下方与 C 点所在的水平面之间存在着场强大小为 E2 E1、方向与竖直方向的夹角 37、斜向右上的匀强电场。现将一质量 m0.4 kg、电荷量 q210 6 C 的小球(可视为质点)套在杆上从 A 端由静止释放后下滑，穿过电场后恰好从 C 点无碰撞地沿圆弧轨道 CD 运动，从 D 点水平飞出落到 M 点。已知小球与杆间的动摩擦因数 0.2，取g10 m/s 2，sin 370.6，cos 370.8。求：7图 5(1)小球到达 B 点时的速度大小 vB；(2)小球从 A 点运动到 C 点所用的时间 t 和 B、 C 两点间的水平距离 x；(3)
8、圆弧轨道的半径 R。解析 (1)小球沿杆下滑过程中受到的滑动摩擦力大小f qE 1则小球沿杆下滑的加速度大小 amg fm由 v 2 aL2B联立解得 vB3 m/s(2)小球沿杆下滑的时间 t1vBa小球离开 B 点后在匀强电场 E2中的受力分析如图所示，则qE2cos 374 N，恰好与重力 mg4 N 平衡小球在匀强电场 E2中做类平抛运动，则有加速度大小 gqE2sin 37m8小球过 C 点时有 tan vBg t2小球从 A 点运动到 C 点所用的时间 t t1 t2B、 C 两点间的水平距离 x g t12 2联立解得 t s， x m1415 1615(3)小球到达 C 点的速
9、度大小 vCvBsin 小球从 C 点运动到 D 点的过程中，根据机械能守恒定律有mg(R Rcos ) mv mv12 2C 12 2D小球从 D 点水平飞出做平抛运动，则h gt12 23x Rsin 37 vDt3联立解得 R m(R m m 舍去)1312 2 017768 169注：先联立求解 vD，后求解 R，会使计算更简单答案 (1)3 m/s (2) s m (3) m1415 1615 1312带电粒子在匀强磁场中的圆周运动带电粒子在相邻匀强磁场中的圆周运动【典例 1】 (2017全国卷，24)如图 6，空间存在方向垂直于纸面( xOy 平面)向里的磁场。在 x0 区域，磁感
10、应强度的大小为 B0； x0 区域，磁感应强度的大小为 B 0(常数 1)。一质量为 m、电荷量为 q(q0)的带电粒子以速度 v0从坐标原点 O 沿 x 轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿 x 轴正向时，求(不计重力)图 6(1)粒子运动的时间；(2)粒子与 O 点间的距离。教你审题(1)边读题边看图9(2)边伸手边画图解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，所以在 x0 区域有： qv0B0在 x0 区域有： qv0(B 0)解得 R1 R2mv0qB0 mv0q B0在 x0 区域运动时间 t1 ； R1v0在 x0
11、 区域运动时间 t2 ； R2v0粒子运动的时间 t t1 t2 。（ 1） m qB0(2)粒子与 O 点间的距离 d2( R1 R2)2（ 1） mv0 qB0答案 (1) (2)（ 1） m qB0 2（ 1） mv0 qB0带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题【典例 2】 (2018天津理综，11)如图 7 所示，在水平线 ab 的下方有一匀强电场，电场强度为 E，方向竖直向下， ab 的上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为 R、 R 的半圆环形区域，外圆与 ab 的交点分别为 M、 N。一310质量为 m、电荷量为 q 的带负电粒子
12、在电场中 P 点静止释放，由 M 进入磁场，从 N 射出。不计粒子重力。图 7(1)求粒子从 P 到 M 所用的时间；(2)若粒子从与 P 同一水平线上的 Q 点水平射出，同样能由 M 进入磁场，从 N 射出。粒子从M 到 N 的过程中，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在 Q 时速度 v0的大小。解析 (1)设粒子在磁场中运动的速度大小为 v，所受洛伦兹力提供向心力，有qvB m v23R设粒子在电场中运动所受电场力为 F，有F qE设粒子在电场中运动的加速度为 a，根据牛顿第二定律有F ma粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有v at联立式得t 3RBE(2)粒子进入匀
13、强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关，运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定。故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短。设粒子在磁场中的轨迹半径为 r，由几何关系可得(r R)2( R)2 r 23设粒子进入磁场时速度方向与 ab 的夹角为 ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知11tan 3Rr R粒子从 Q 射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从 P 释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为 v。在垂直于电场方向上的分速度始终等于 v0，由运动的合成和分解可得tan vv0联立式得v0 qBRm答案 (1) (2)3RBE qBRm1.
14、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法2.求解临界、极值问题的“两思路”(1)以定理、定律为依据，求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解。(2)画轨迹讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。1.(多选)如图 8 所示， 圆形区域 AOB 内存在垂直纸面向内的匀强磁场， AO 和 BO 是圆的两14条相互垂直的半径，一带电粒子从 A 点沿 AO 方向进入磁场，从 B 点离开，若该粒子以同样的速度从 C 点平行于 AO 方向进入磁场，则( )12图 8A.粒子带负电B.只要粒子入射点在 AB 弧之间，粒子仍然从 B 点离开磁场C.入射点越靠近
15、 B 点，粒子偏转角度越大D.入射点越靠近 B 点，粒子运动时间越短解析 粒子从 A 点正对圆心射入，恰从 B 点射出，根据洛伦兹力方向可判断粒子带正电，故选项 A 错误；粒子从 A 点射入时，在磁场中运动的圆心角为 190，粒子运动的轨迹半径等于 BO，当粒子从 C 点沿 AO 方向射入磁场时，粒子的运动轨迹如图所示，设对应的圆心角为 2，运动的轨迹半径也为 BO，粒子做圆周运动的轨迹半径等于磁场圆的半径，磁场区域圆的圆心 O、轨迹圆的圆心 O1以及粒子进出磁场的两点构成一个菱形，由于 O1C和 OB 平行，所以粒子一定从 B 点离开磁场，故选项 B 正确；由图可得此时粒子偏转角等于 BOC
16、，即入射点越靠近 B 点对应的偏转角度越小，运动时间越短，故选项 C 错误，D 正确。答案 BD2.(2018湖北宜昌二模)如图 9 所示，在 x 轴下方的第、象限中，存在垂直于 xOy 平面方向的匀强磁场，磁感应强度 B12 B22 B，带电粒子 a、 b 分别从 x 轴上的 P、 Q 两点(图中没有标出)以垂直于 x 轴方向的速度同时进入匀强磁场 B1、 B2中，两粒子恰在第一次通过 y 轴时发生正碰，碰撞前带电粒子 a 的速度方向与 y 轴正方向成 60角，若两带电粒子的比荷分别为 k1、 k2，进入磁场时的速度大小分别为 v1、 v2，不计粒子重力和两粒子间相互作用，则下列关系正确的是
17、( )图 9A.k12 k2 B.2k1 k213C.v12 v2 D.2v1 v2解析 两粒子在 y 轴上发生正碰时粒子 a 的速度与 y 轴正方向成 60角，则粒子 b 速度与y 轴负方向成 60角，轨迹对应的圆心角分别为 120和 60，如图所示。两粒子同时进入磁场并相撞，则运动时间相等，即 t1 t2，而 t1 ， t2 ，将T13 2 m13q1B1 T26 m23q2B2B12 B22 B 代入得 k1 k2；由于两粒子正碰则轨道半径相等，而 R1 ， R2 ，解m1v1q1B1 m2v2q2B2得 v12 v2。答案 C3.(多选)如图 10 所示，环带区域有垂直平面向里的匀强磁
18、场，磁感应强度大小为 B，在环带的内边界上有一个粒子源 S，可以沿各个方向均匀向磁场中发射速度大小相等、质量为m、电荷量为 q 的带负电粒子，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 d，环形区域内环的半径为d，环带的宽度为 d，则下列说法正确的是( )33图 10A.粒子速度大小为qBd2mB.若粒子从环带外边界射出，则粒子在磁场中运动的最短时间为 m3qBC.若粒子从环带外边界射出，则粒子在磁场中运动的最长时间为3 m2qBD.粒子源发射的粒子中从环带外边界射出的数量占总数量的56解析 粒子在磁场中运动的轨迹半径为 d，则粒子的速度大小为 ，选项 A 错误；粒子的qBdm速度方向在沿过 S 点的切线范
19、围内，当粒子的速度方向沿切线方向时，轨迹如图甲所示，将速度方向顺时针旋转，则轨迹以 S 为圆心顺时针转动，轨迹与环带外边界的交点与 S 的14连线即为粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长，该弦长先减小后增大，最短弦长为环带的宽度，此时粒子运动轨迹所对的圆心角为 60，如图乙所示，最短时间为 tmin ，选T6 m3qB项 B 正确；当轨迹与环带外边界相切时，如图丙所示，由几何关系可得粒子运动轨迹所对的圆心角为 150，最长时间为 tmax ，选项 C 错误；当轨迹与外边界相切时，速度方5 m6Bq向与切线的夹角为 30，则粒子从外边界射出的数量占总数量的 ，选项 D 正确。15018056答案 BD
20、破解高考压轴题策略“情境示意，一目了然”认真阅读题目、分析题意、搞清题述物理状态及过程，并用简图(示意图、运动轨迹图、受力分析图、等效图等)将这些状态及过程表示出来，以展示题述物理情境、物理模型，使物理过程更为直观、物理特征更为明显，进而快速简便解题。【例】 如图 11 所示， M、 N 为加速电场的两极板， M 板中心 Q 点有一小孔，其正上方有圆心为 O、半径 R11 m 的圆形磁场区域和圆心为 O、内半径为 R1、外半径 R2 m 的环形2磁场区域。环形磁场区域的外边界与 M 板相切于 Q 点。两个磁场均垂直于纸面，磁感应强度大小均为 B(B0.5 T)，但方向相反。一带正电的粒子从 N
21、 板附近的 P 点由静止释放，经加速后通过小孔，垂直进入环形磁场区域。已知点 P、 Q、 O 在同一直线上，粒子的比荷410 7 C/kg，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应。qm图 11(1)若加速电场的两极板间的电压 U1510 6 V，求粒子刚进入环形磁场时的速率 v0；15(2)要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电场的两极板间的电压 U2应满足什么条件？(3)当加速电场的两极板间的电压为某一值时，粒子进入圆形磁场区域后恰能水平通过圆心O，之后返回到出发点 P，求粒子从进入磁场到第一次回到 Q 点所用的时间 t。满分指导解析 (1)粒子在电场中加速，由动能定理有qU1 mv12
22、 20解得 v0210 7 m/s。(2)粒子刚好不进入中间圆形磁场时的运动轨迹如图甲所16甲示，圆心 O1在 M 板上。设此时粒子在磁场中运动的轨道半径为 r1。根据图中的几何关系(Rt OQO1)有r R ( r1 R1)221 2又根据洛伦兹力提供向心力，有 qvB mv2r1在加速电场中，由动能定理有 qU2 mv212联立并代入数据解得 U21.2510 6 V要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电场的两极板间的电压 U2应满足的条件为U21.25106 V。(3)依题意作出粒子的运动轨迹，如图乙所示。由于 O、 O3、 Q 共线，且粒子在两磁场中运动的轨迹半径(设为 r2)相同，
23、故有 O2O32 O2Q2 r2，由此可判断 QO3O230， QO2O360，进而判断 OO3O2150乙粒子从进入磁场到第一次回到 Q 点所用的时间t2( T T) T60360 150360 76又 T2 mqB17联立并代入数据解得 t 107 s。76答案 (1)210 7 m/s (2) U21.25106 V (3) 107 s76课时跟踪训练一、选择题(13 题为单项选择题，47 题为多项选择题)1.如图 1 所示，平行板电容器两极板的间距为 d，极板与水平面成 45角，上极板带正电。一电荷量为 q(q0)的粒子在电容器中靠近下极板处，以初动能 Ek0竖直向上射出。不计重力，极
24、板尺寸足够大。若粒子能打到上极板，则两极板间电场强度的最大值为( )图 1A. B. Ek04qd Ek02qdC. D.2Ek02qd 2Ek0qd解析 当电场足够大时，粒子打到上极板的极限情况为粒子到达上极板处时速度恰好与上极板平行，粒子的运动为类斜抛运动。将粒子初速度 v0分解为垂直极板的 vy和平行极板的vx，根据运动的合成与分解，当 vy0 时，根据运动学公式有 v ， vy v0cos 45，2y2EqdmEk0 mv ，联立得 E ，故选项 B 正确。12 20 Ek02qd答案 B2. (2018湖南衡阳模拟)如图 2 所示，在直角三角形 ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场(
25、图中未画出)， AB 边长度为 d， B 。现垂直 AB 边射入一群质量均为 m、电荷量均为 6q、速度大小均为 v 的带正电粒子，已知垂直 AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为 t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为 t0(不计重力)。则下列判断正确的是( )4318图 2A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 2t0B.该匀强磁场的磁感应强度大小为 mqt0C.粒子在磁场中运动的轨道半径为 d25D.粒子进入磁场时速度大小为3 d7t0解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直 AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是T，即 T t0，则得周期 T4 t0，故选项 A 错误；由 T
26、 得 B ，故选项14 14 2 mqB 2 mqT m2qt0B 错误；设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为 ，则有T ，得 ，画出该粒子的运动轨迹如图，设轨道半径为 R，由几何知识得2 4t03 23 Rcos 60 dRcos 60可得 R ，故选项 C 正确；根据 ，解得 v ，故选项 D 错误。2d5 4t03 Rv d5t0答案 C3.(2018淮北市高三质检)如图 3 所示，处于真空中的匀强电场水平向右，有一质量为m、带电荷量为 q 的小球从 P 点以大小为 v0的初速度水平向右抛出，经过 t 时间到达 Q 点(图中未画出)时的速度仍为 v0，则小球由 P 点运动
27、到 Q 点的过程中，下列判断正确的是( )图 3A.Q 点在 P 点正下方19B.小球电势能减少C.小球重力势能减少量等于 mg2t212D.Q 点应位于 P 点所在竖直线的左侧解析 从 P 到 Q 点，根据动能定理可知 mgh W 电 mv mv 0，因重力做正功，则电12 20 12 20场力做负功，电势能增加，则 Q 点应该在 P 点的右下方，选项 A、B、D 错误；小球在竖直方向下落的高度 h gt2，则小球重力势能减少量 Ep mgh mg2t2，选项 C 正确。12 12答案 C4.(2018湖南常德二模)如图 4 所示，圆形区域半径为 R，区域内有一垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度
28、的大小为 B， P 为磁场边界上的最低点。大量质量均为 m、电荷量绝对值均为 q 的带负电粒子，以相同的速率从 P 点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向。粒子的轨道半径为 2R， A、 C 为圆形区域水平直径的两个端点，粒子重力不计，空气阻力不计，则( )图 4A.粒子射入磁场的速率为 vRqBmB.粒子在磁场中运动的最长时间为 t m3qBC.不可能有粒子从 C 点射出磁场D.若粒子的速率变化，则可能有粒子从 A 点水平射出解析 由洛伦兹力提供向心力 qvB m ，解得 r ，根据题意 r2 R，以上联立可得 vv2r mvqB，故选项 A 错误；当粒子以直径 2R 为弦时，运动时
29、间最长，由几何关系可知圆心角为2qBRm60，粒子运动的周期为 T ，由此可知粒子运动时间为 t ，故选项 B 正确；2 mqB T6 m3qB粒子的轨道半径为 2R，磁场的半径为 R，粒子可能从 C 点射出，故选项 C 错误；当粒子的轨道半径为 R 时，竖直向上射出的粒子，可以从 A 点水平射出，且速度满足 v ，故选qBRm项 D 正确。20答案 BD5.如图 5 所示，人工放射性元素原子核 Nh 开始静止在磁感应强度分别为 B1、 B2的匀强286113磁场的边界 MN 上，某时刻发生 衰变，生成一个氦原子核 He 和一个 Rg 原子核，衰变后42的微粒速度方向均垂直于两磁场的边界 MN
30、。氦原子核通过上面磁场区域第一次经过 MN 边界时，距出发点的距离为 d，Rg 原子核第一次经过 MN 边界时，距出发点的距离也为 d。下列有关说法正确的是( )图 5A.两磁场的磁感应强度之比 B1 B2111141B.两磁场的磁感应强度之比 B1 B21112C.氦原子核和 Rg 原子核各自旋转第一个半圆的时间之比为 2141D.氦原子核和 Rg 原子核各自旋转第一个半圆的时间之比为 111141解析 原子核 Nh 衰变的方程为 Nh He Rg。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆286113 286113 42 282111周运动，偏转半径为 r ，由题意可知二者偏转半径相等，由于 Nh 原子
31、核由静止衰mvqB 286133变，动量守恒，即 m1v1 m2v2，所以有 q1B1 q2B2，解得 ，选项 A 错误，B 正确；B1B2 q2q1 1112因为周期 T ，所以 ，粒子在第一次经过 MN 边界时，运动了半个周期，所以2 mqB T1T2 m1m2 ，选项 C 正确，D 错误。t1t2 T1T2 m1m2 4282 2141答案 BC6.在光滑水平绝缘的足够大的桌面上建立 xOy 坐标系，空间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B0，有两个完全相同的质量为 m 的带正电小球 A、 B 分别位于 y 轴上纵坐标为 y2、 y1的位置，电荷量都为 q，两个小球都以垂直于 y
32、轴、大小为 v 的速度同时射入磁场。如图 6 所示(两球若发生碰撞只能是弹性正碰)，要让 B 球到(0， y2)处，那 y2 y1可能的值为( )21图 6A. B.2 mvB0q mvB0qC.3 D.4mvB0q mvB0q解析 两球在匀强磁场中运动的轨迹半径相等，由洛伦兹力提供向心力有 B0qv ，得mv2rr ， B 球要到达(0， y2)处，第一种情况是运动半个周期直接到达，如图甲所示，则mvB0qy2 y12 r2 。第二种情况，如图乙所示， A、 B 两个球各自运动半个周期后发生弹性mvB0q正碰，因为两球质量相同，在满足系统动量守恒和碰撞过程动能不损失的条件下，两球只能交换速度
33、后又各自运动半个周期到达另一点， y2 y14 r4 ，故选项 B、D 正确。mvB0q答案 BD7. (2018安徽江南十校联考)如图 7 所示，在竖直平面内的直角坐标系 xOy 中，长为 L 的细绳一端固定于点 A(0， )，另一端系一带正电的小球。现在 y 轴正半轴上某处 B 固定L3一钉子，再将细绳拉至水平位置，由静止释放小球使细绳碰到钉子后小球能绕钉转动。已知整个空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为 。则( )2mgq图 722A.小球一定能绕 B 做完整的圆周运动B.当 yB 时小球能做完整的圆周运动4L15C.当 yB 时小球能做完整的圆周运动L5D.若小球恰好能做完整的圆周运
34、动，则绳能承受的拉力至少为 6mg解析 带正电小球运动到 y 轴时在最高点受力如图甲，在最低点受力如图乙。因为 Eqq2 mgmg，则在最低点会出现拉力 T0 的临界状态，此时小球恰能做完整的圆周运2mgq动。设小球恰能绕钉子做完整的圆周运动的半径为 R，在圆周运动的最低点速度为 v 下 ，由动能定理有( Eq mg)(L2 R) mv ，由牛顿第二定律有 Eq mg m ，解得 R L，此12 2下 25时 B 点纵坐标 yB L L L，只有当 R L 时小球可做完整的圆周运动。当 yB 时，L3 25 415 25 L5L L L，小球不能做完整的圆周运动，选项 B 正确，A、C 错误；
35、小球恰能做完L3 L5 715 25整的圆周运动时，小球在最高点时绳的拉力最大，则有 T mg Eq m ，( Eq mg)L mv ，解得 T6 mg，则选项 D 正确。12 2上答案 BD二、非选择题8.如图 8 所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，其中 x 轴水平、 y 轴竖直， xOy 平面内长方形区域 OABC 内有方向垂直 OA 的匀强电场， OA 长为 l，与 x 轴间的夹角 30。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球(可看作质点)从 y 轴上的 P 点沿 x 轴方向以一定速度射出，恰好从 OA 的中点 M 垂直 OA 进入电场区域。已知重力加速度为 g。23图 8(1
36、)求 P 点的纵坐标 yP及小球从 P 点射出时的速度 v0；(2)已知电场强度的大小为 E ，若小球不能从 BC 边界离开电场， OC 长度应满足什么3mg2q条件？解析 (1)设小球从 P 运动到 M 所用时间为 t1，则有yP sin gtl2 12 21cos v0t1l2 gt1v0tan 解得 yP l58v0gl2(2)设小球到达 M 时速度为 vM，进入电场后加速度为 a，有 vMv0sin 又 mgcos qE小球在电场中沿 vM方向做匀速直线运动，沿与 vM垂直方向做加速度为 a 的匀加速运动，设边界 OC 的长度为 d 时，小球不从 BC 边射出，在电场中运动时间为 t2
37、mgsin mad vMt2 atl2 12 2解得 d l2答案 (1) l (2) d l58 gl2 29.如图 9 所示，在第一象限内存在两个有界匀强磁场，两磁场以 x1 m 的虚线为分界线，其中左边磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度为 B1110 3 T，右边磁场方向垂直纸面24向里，磁感应强度为 B2210 3 T，在(2 m，0)处存在一个粒子源，可向各个方向发射比荷为 1109 C/kg 的带正电的粒子，粒子的速度为 v210 6 m/s，不计粒子重力。若粒子垂直 x 轴进入磁场，求粒子最终射出 y 轴的坐标以及该粒子在磁场中的运动时间。图 9解析 由洛伦兹力提供向心力有 qvB
38、2 mv2r2可知 r21 m可知粒子垂直直线 x1 m 进入左边磁场由洛伦兹力提供向心力有 qvB1 mv2r1可得 r12 m粒子轨迹如图所示由几何知识可得 O2P m，3故 PM(2 ) m3故射出 y 轴时的纵坐标 y PM r2(3 ) m1.27 m3即粒子最终射出 y 轴的坐标为(0，1.27 m)第一段运动轨迹是 圆弧，14故 t2 T2 106 s14 m2qB2 4第二段运动，sin NO2P ，得圆心角 NO2P30，故 t1 T1 106 NPNO2 12 112 m6qB1 6s25综上可得 t t2 t1 106 s512答案 (0，1.27 m) 106 s512
39、10.如图 10 甲所示，一对平行金属板 M、 N 长为 L，相距为 d， O1O 为中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压 UMN U0时，某一带负电的粒子从 O1点以速度 v0沿 O1O 方向射入电场，粒子恰好打在上极板 M 的中点，粒子重力忽略不计。图 10(1)求带电粒子的比荷 ；qm(2)若 M、 N 间加如图乙所示的交变电压，其周期 T ，从 t0 开始，前 时间内Lv0 T3UMN2 U，后 时间内 UMN U，大量的上述粒子仍然以速度 v0沿 O1O 方向持续射入电场，2T3最终所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求 U 的值。解析 (1)设粒子经过
40、时间 t0打在 M 板中点沿极板方向有 v0t0L2垂直极板方向有 td2 qU02md20解得 qm(2)粒子通过两板间的时间 t TLv0从 t0 时刻开始，粒子在两板间运动时，每个电压变化周期的前三分之一时间内的加速度大小 a1 ，在每个电压变化周期的后三分之二时间内的加速度大小 a22qUmd qUmd不同时刻从 O1点进入电场的粒子沿电场方向的速度 vy随时间 t 变化的关系如图所示。所有粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在 t nT(n0，1，2，)和 t nT26T(n0，1，2，)时刻进入电场的粒子恰好分别从上、下极板右侧边缘飞出。它们在电13场方向偏转的距离最大，则 (a1 )Td2 12 T3解得 U 。3U08答案 (1) (2) 3U08
