1、1专题突破练 10 三角变换与解三角形1.(2018北京卷,文 16)已知函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)若 f(x)在区间 上的最大值为 ,求 m的最小值 .2. ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.(1)求 c;(2)设 D为 BC边上一点,且 AD AC,求 ABD的面积 .23.(2018河南郑州三模,文 17)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 acos C=(2b-c)cos A.(1)求角 A的大小;(2)若 a=2,求 ABC面积的
2、最大值 .4.(2018河南六市联考二,文 17)已知 f(x)=12sin cos x-3,x .(1)求 f(x)的最大值和最小值;(2)CD为 ABC的内角平分线,已知 AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2 ,求 C.5.(2018山东潍坊三模,文 17)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x+2 sin xcos x(xR) .(1)求 f(x)的最小正周期;3(2)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 f(A)=2,c=5,cos B= ,求 ABC中线 AD的长 .6.已知在 ABC中, D是 BC上的点, AD平分 BAC, ABD的面积是
3、 ADC面积的 2倍 .(1)求 ;(2)若 AD=1,DC= ,求 BD和 AC的长 .7.在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 4cos2 -4sin Bsin C=3.(1)求 A;(2)若( bc-4 )cos A+accos B=a2-b2,求 ABC的面积 .48.在 ABC中, a,b,c分别为角 A,B,C的对边 .若 acos B=3,bcos A=1,且 A-B= ,(1)求边 c的长;(2)求角 B的大小 .参考答案专题突破练 10 三角变换与解三角形1.解 (1)因为 f(x)= sin 2x= sin 2x- cos 2x+ =sin 2x-
4、+ ,所以 f(x)的最小正周期为 T= = .(2)由(1)知 f(x)=sin .因为 x ,5所以 2x- .要使 f(x)在 上的最大值为 ,即 sin 上的最大值为 1.所以 2m- ,即 m .所以 m的最小值为 .2.解 (1)由已知可得 tan A=- ,所以 A= .在 ABC中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos ,即c2+2c-24=0,解得 c=-6(舍去), c=4.(2)由题设可得 CAD= ,所以 BAD= BAC- CAD= .故 ABD面积与 ACD面积的比值为 =1.又 ABC的面积为 42sin BAC=2 ,所以 ABD的面积为 .3.解 (1)由
5、正弦定理可得 sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,从而可得 sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,所以 cos A= .因为 A为三角形的一个内角,所以 A= .6(2)由余弦定理得 4=b2+c2-2bc 2 bc- bc,所以 bc4(2 + ),所以 S= bcsin A=2+ .4.解 (1)f(x)=12sin x cos x+12cos x cos x-3=3 sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin .f (x)在 上单调递增,在 上单调递减,f (x)max=6,f(x)min=3.(2)在
6、 ADC中, ,在 BDC中, . sin ADC=sin BDC,AC=6,BC=3,AD= 2BD.在 BCD中, BD2=17-12 cos ,在 ACD中, AD2=44-24 cos =68-48 cos , cos ,即 C= .5.解 (1)f(x)=-cos 2x+ sin 2x=2sin ,T= =,即函数 f(x)的最小正周期为 .(2)由(1)知 f(x)=2sin , 在 ABC中, f(A)=2, sin =1.7 2A- ,A= . cos B= , sin B= , sin C=sin(A+B)= ,在 ABC中,由正弦定理,得 ,a= 7.BD= .在 ABD中
7、,由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=52+ -25,AD= .6.解 (1) S ABD= ABADsin BAD,S ADC= ACADsin CAD.因为 S ABD=2S ADC, BAD= CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得 .(2)因为 S ABDS ADC=BDDC ,所以 BD= .在 ABD和 ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC. 因为 cos ADB=-cos ADC,所以 + 2 得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知 AB=2
8、AC,所以 AC=1.7.解 (1)4 -4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bsin C=2+2cos(B+C)=2-2cos A=3,cos A=- , 0A, A= .8(2) (bc-4 ) +ac =a2-b2, -4=a2-b2,b 2+c2-a2-4 =0,A= ,b 2+c2-a20, 1- =0,bc=2 ,S ABC= bcsin A= 2 .8.解 (1) acos B=3,a =3,化为 a2+c2-b2=6c, bcos A=1,b =1,化为 b2+c2-a2=2c. 解由 , 组成的方程组得 2c2=8c,即 c=4.(2)由(1)得到的 c=4代入 可得 a2-b2=8.又 A-B= ,A=B+ ,C= -(A+B)= - ,可得 sin C=sin .由正弦定理可得 ,a= ,b= .a 2-b2=816sin2 -16sin2B=8sin2 , 1-cos -(1-cos 2B)=sin2 ,即 cos 2B-cos=sin2 ,9 sin =sin2 , sin =0或 sin 2B+ =1,B ,解得 B= .
