1、1专题突破练 22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.经过原点的直线与椭圆 C: =1(ab0)交于 A,B两点,点 P为椭圆上不同于 A,B的一点,直线 PA,PB的斜率均存在,且直线 PA,PB的斜率之积为 - .(1)求椭圆 C的离心率;(2)设 F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,斜率为 k的直线 l经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于M,N两点 .若点 F1在以 |MN|为直径的圆内部,求 k的取值范围 .2.(2018湖南衡阳一模,文 20)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,直线 y=1与 C的两个交点间的距离为 .(1)求椭圆 C的方程;(2)如
2、图,过 F1,F2作两条平行线 l1,l2与 C的上半部分分别交于 A,B两点,求四边形 ABF2F1面积的最大值 .23.已知 A是椭圆 E: =1的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E于 A,M两点,点 N在 E上,MA NA.(1)当 |AM|=|AN|时,求 AMN的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 0).(1)证明: k0)的直线交 E于 A,M两点,点 N在 E上, MA NA.(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求 AMN的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k的取值范围 .46.(2018山东潍坊一模,文 20)抛物线 E:x2=2py(0 ,过 P
3、作圆 C的两条切线分别交 y轴于 M,N两点,求 PMN面积的最小值,并求出此时 P点坐标 .参考答案专题突破练 22 圆锥曲线中5的最值、范围、证明问题1.解 (1)设 A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),P(x0,y0), 点 A,B,P三点均在椭圆上, =1, =1, 作差得=- ,k PAkPB= =- =- =-1+e2=- ,e= .(2)设 F1(-c,0),F2(c,0),直线 l的方程为 y=k(x-c),记 M(x3,y3),N(x4,y4),e= ,a 2=4b2,c2=3b2,联立得(1 +4k2)x2-8ck2x+4c2k2-4b2=0, 0,当点 F1在以
4、|MN|为直径的圆内部时, =(x3+c)(x4+c)+y3y40.y1+y2= ,y1y2=- ,|AD|= .又 F2到 l1的距离为 d= ,所以 =12 .令 t= 1,则 ,所以当 t=1时,最大值为 3.又 (|AF1|+|BF2|)d= (|AF1|+|DF1|)d= |AD|d= ,所以四边形 ABF2F1面积的最大值为 3.3.(1)解 设 M(x1,y1),则由题意知 y10.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM的倾斜角为 .7又 A(-2,0),因此直线 AM的方程为 y=x+2.将 x=y-2代入 =1得 7y2-12y=0.解得 y=0或 y= ,所以 y1= .因此
5、AMN的面积 S AMN= .(2)证明 将直线 AM的方程 y=k(x+2)(k0)代入 =1得(3 +4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由 x1(-2)= 得 x1= ,故 |AM|=|x1+2| .由题设,直线 AN的方程为 y=- (x+2),故同理可得 |AN|= .由 2|AM|=|AN|得 ,即 4k3-6k2+3k-8=0.设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k是 f(t)的零点 .f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以 f(t)在(0, + )单调递增 .又 f( )=15 -260,因此 f(t)在(0, + )有唯一的零点,且零点 k
6、在( ,2)内 .所以 0.当 t=4时, E的方程为 =1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线 AM的倾斜角为 .因此直线 AM的方程为 y=x+2.将 x=y-2代入 =1得 7y2-12y=0.解得 y=0或 y= ,所以 y1= .因此 AMN的面积 S AMN= .(2)由题意 t3,k0,A(- ,0).将直线 AM的方程 y=k(x+ )代入 =1得(3 +tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0.由 x1(- )= 得 x1= ,故 |AM|=|x1+.由题设,直线 AN的方程为 y=- (x+ ),故同理可得 |AN|=9.由 2|AM|=|AN|得 ,即( k3-2)t=3k(2k-1).当 k= 时上式不成立,因此 t= .t3等价于 , 1.设两切线斜率为 k1,k2,则 k1+k2= ,k1k2= .10S PMN= |(y0-k1x0)-(y0-k2x0)|x0|= |k1-k2| ,|k 1-k2|2=(k1+k2)2-4k1k2= ,|k 1-k2|= ,则 S PMN= ,令 2y0-1=t(t0),则 y0= ,S PMN= +12 +1=2.当且仅当 ,即 t=1时取等号,2 y0-1=1,y0=1,此时点 P坐标为( ,1)或( - ,1). PMN面积的最小值为 2.
