1、12.3.1 圆的标准方程1.以(-2,3)为圆心,与 y轴相切的圆的标准方程为( A )(A)(x+2)2+(y-3)2=4 (B)(x-2)2+(y+3)2=4(C)(x+2)2+(y-3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=25解析:因为圆心坐标(-2,3),圆与 y轴相切,所以 r=|-2|=2,所以圆的标准方程为(x+2) 2+(y-3)2=4.2.两条直线 y=x+2a,y=2x+a的交点 P在圆(x-1) 2+(y-1)2=4的内部,则实数 a的取值范围是( A )(A)(- ,1) (B)(-,- )(1,+)(C)- ,1) (D)(-,- )1,+)解析:联立 解得
2、P(a,3a).因为点 P在圆(x-1) 2+(y-1)2=4的内部.所以(a-1) 2+(3a-1)20).若圆 C上存在点 P,使得APB=90,则 m的最大值为( B )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4解析:由题意知以 AB为直径的圆 O与圆 C有公共点,且|OC|=5,于是 m-151+m 即4m6.故选 B.4.若直线 x+y-3=0始终平分圆(x-a) 2+(y-b)2=2的周长,则 a+b等于( A )(A)3 (B)2 (C)5 (D)1解析:由题可知,圆心(a,b)在直线 x+y-3=0上,所以 a+b-3=0,即 a+b=3.5.已知圆 C的圆心在 x轴的正半轴上,点
3、 M(0, )在圆 C上,且圆心到直线 2x-y=0的距离为2,则圆 C的方程为 . 解析:设圆 C的方程为(x-a) 2+y2=r2,则 a2+5=r2,且 = ,解得 a=2或 a=-2(舍去),所以 r2=9.所以圆的方程为(x-2) 2+y2=9.答案:(x-2) 2+y2=96.已知圆 C:(x-1)2+(y+2)2=25上一点 M(x0,y0),则(x 0-6)2+(y0+4)2的最小值为 .解析:因为(x 0-6)2+(y0+4)2表示点 A(6,-4)与圆上动点 M(x0,y0)之间的距离的平方,故|AM|最小,|AM| 2也达到最小,而|AM|的最小值为|AC|-r= -5=
4、 -5,所以|AM| 2=54-10 .答案:54-107.(2017海口模拟)方程(x+y-1) =0所表示的曲线是图中的 . 解析:原方程等价于 或 x2+y2=4.所以,当 x+y-1=0时,只有 有意义,等式才成立,即 x2+y24,此时它表示直线x+y-1=0上不在圆 x2+y2=4内的部分,故选.3答案:8.已知圆 C经过 A(0,0),B(2,0),且圆心在第一象限,ABC 为直角三角形,则圆 C的方程为( C )(A)(x-1)2+(y-1)2=4 (B) + =2(C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x-1)2+(y-2)2=5解析:因为圆心在弦的中垂线上,所有可设
5、C(1,m),由于ABC 为等腰直角三角形,所以|AC|= ,因为 m0,所以 m=1,所以圆心坐标为(1,1),圆的半径为 ,所以圆 C的方程为(x-1) 2+(y-1)2=2,故选 C.9.过点 P(1,2)的直线,将圆形区域(x,y)|x 2+y29分为两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+2y-5=0 (B)y-2=0(C)2x-y=0 (D)x-1=0解析:要使面积之差最大,必须使过点 P的弦最小,所以该直线与直线 OP垂直,又 kOP=2,所以所求直线的斜率为- ,由点斜式可求得直线方程为 x+2y-5=0,故选 A.10.过点 P(2,1)的直线
6、l与圆 C:(x-1)2+y2=4交于 A,B两点,当ACB 最小时,直线 l的方程为 . 解析:因为点 P(2,1)在圆 C的内部,所以当且仅当 CPl 时,ACB 最小,又 CP的斜率为 1,所以直线 l的斜率为-1,故 l的方程为 x+y-3=0.答案:x+y-3=011.圆心在直线 y=-4x上,并且与直线 l:x+y-1=0相切于点 P(3,-2)的圆的方程为 .解析:过点 P且与直线 l垂直的直线方程为 y=x-5,4圆心为直线 y=x-5与 y=-4x的交点,易知圆心坐标为(1,-4),故半径 r= =2 ,故所求圆的方程为(x-1) 2+(y+4)2=8.答案:(x-1) 2+
7、(y+4)2=812.如图,已知圆 M过点 P(10,4),且与直线 4x+3y-20=0相切于点 A(2,4).(1)求圆 M的标准方程;(2)设平行于 OA的直线 l与圆 M相交于 B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线 l的方程.解:(1)过点 A(2,4)且与直线 4x+3y-20=0垂直的直线方程为 3x-4y+10=0, AP的垂直平分线方程为 x=6, 由联立得圆心 M(6,7),半径 r=|AM|= =5,圆 M的方程为(x-6) 2+(y-7)2=25.(2)因为直线 lOA,所以直线 l的斜率为 =2.设直线 l的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0,则圆心 M到直
8、线 l的距离 d= = .因为|BC|=|OA|= =2 ,而|MC| 2=d2+( )2,所以 25= +5,解得 m=5或 m=-15.故直线 l的方程为 2x-y+5=0或 2x-y-15=0.13.已知实数 x,y满足 y= ,试求 k= 的最值.5解:y= 可化为 x2+y2=3(y0),表示以原点 O(0,0)为圆心,r= 为半径的上半圆,k=可看作半圆上的点 M(x,y)与定点 P(-3,-1)连线的斜率,如图所示.当直线 y+1=k(x+3)与半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径,得 = ,化简得 3k2-3k-1=0,k= ,舍去负值,得 k= 为所求 k的最大值;当直线 y+1=k(x+3)过点 B时,k= = 为所求 k的最小值.综上,k 的最大值为 ,最小值为 .
