1、18 最小二乘估计课后篇巩固提升A组1.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心是(4,5),则线性回归方程是( )A.y=4+1.23xB.y=5+1.23xC.y=0.08+1.23xD.y=1.23+0.08x解析 由已知得 b=1.23, =4, =5,于是 a= -b =5-1.234=0.08,因此线性回归方程为 y=1.23x+0.08. 答案 C2.在 2017年春节期间,某市场物价部门对本市五个商场销售的某商品一天销售量及其价格进行调查,五个商场的售价 x元和销售量 y件之间的一组数据如下表所示:价格x 99.51010.511销售量 y11 108 6 5通过分
2、析,发现销售量 y对商品的价格 x具有线性相关关系,则销售量 y对商品的价格 x的线性回归方程为 ( )A.y=3.2x-24B.y=-3.2x+40C.y=3x-22D.y=3x+38答案 B3.某地区调查了 29岁的儿童的身高,由此建立的身高 y(单位:cm)与年龄 x(单位:岁)的回归模型为 y=8.25x+60.13,下列叙述正确的是( )A.该地区一个 10岁儿童的身高为 142.63 cmB.该地区 29岁的儿童每年身高约增加 8.25 cmC.该地区 9岁儿童的平均身高是 134.38 cmD.利用这个模型可以准确地预算该地区每个 29岁儿童的身高解析 由 y=8.25x+60.
3、13知斜率的估计值为 8.25,说明每增加一个单位年龄,约增加 8.25个单位身高,故选 B.答案 B4.某产品的广告费用 x与销售额 y的统计数据如下表:广告费用x/万元 4 2 3 5销售额 y/万元49263954根据上表可得回归方程 y=bx+a中的 b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6万元时的销售额为( )A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元解析 =3.5, =42,=4+2+3+54 =49+26+39+544且 y=bx+a必过( ), 42=3.59.4+a,2a= 9.1. 线性回归方程为 y=9.4x+9.1. 当 x=6时, y=9.46+
4、9.1=65.5(万元) .答案 B5.已知 x与 y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为 y=bx+a,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是( )A.bb,aa B.bb,aa D.ba.故选 C.58-63.513691-63.52 =57 13657答案 C6.已知一个线性回归方程为 y=1.5x+45,x1,7,5,13,19,则 = . 解析 因为 (1+7+5+13+19)=9,且 =1.5 +45,所以 =1.59+45=58.5.=15 答案 58.57.下表是某厂
5、 1到 4月用水量情况(单位:百吨)的一组数据:月份x 1 234用水量 y4.5 432.5用水量 y与月份 x之间具有线性相关关系,其线性回归方程为 y=-0.7x+a,则 a的值为 . 解析 由已知得 =2.5, =3.5,因此 3.5=-0.72.5+a,解得 a=5.25. 答案 5.258.(2018山东潍坊高一同步检测)2018 年,我国政府加强了对高耗能企业的监管,采取多种方式促进企业向节能型企业转变,某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨汽油)有如下几组样本数据:x3 456y2.5344.5根据相关性检验,这组样本数
6、据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为 0.7,已知该工厂在 2018年能耗计划中汽油不超过 8.75吨,则该工厂 2018年的计划产量最大约为 吨 . 3解析 =4.5, =3.5,故样本点的中心为 A(4.5,3.5),由题意,=3+4+5+64 =2.5+3+4+4.54设回归直线方程是 =0.7x+ ,代入 A点坐标得 3.5=0.74.5+ ,求得 =0.35,故回归直线方程为 =0.7x+0.35.由题意得 =0.7x+0.358 .75,解得 x12 .所以该工厂 2018年的计划产量最大约为 12吨 .答案 129. 导学号 36424030假设关于某设备使
7、用年限 x年和所支出的维修费用 y(单位:万元),有如下的统计资料:x2 3 4 5 6y2.23.85.56.57.0请画出上表数据的散点图,判断它们是否具有相关关系,若相关,求出 y关于 x的线性回归方程 .解 散点图如下:由散点图可知,两变量之间具有相关关系,且为线性相关 .列表,计算i 1 2 3 4 5xi 2 3 4 5 6yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.024 9 16 25 36=4, =5;=90, xiyi=5=12 5=1112.3设所求回归方程为 y=bx+a,则由上表可得b= =1.23,112.3-54590-542 =
8、12.310a= -b =5-1.234=0.08. 所以回归方程为 y=1.23x+0.08.10. 导学号 36424031某连锁经营公司所属 5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称 ABCDE销售额 x/千万元 35679利润额 y/百 233454万元(1)画出散点图,观察散点图,说明两个变量是否线性相关;(2)用最小二乘法计算利润额 y对销售额 x的线性回归方程;(3)当销售额为 4千万元时,估计利润额的大小 .解 (1)散点图如图所示 .由散点图可以看出变量 x,y线性相关 .(2)设线性回归方程是 y=bx+a.因为 =3.4, =6, xiyi=112, =200, 5
9、=1 5=12所以 b= =0.5,5=1-5 5=12-52a= -b =3.4-60.5=0.4, 即利润额 y对销售额 x的线性回归方程为 y=0.5x+0.4.(3)当销售额为 4千万元时,利润额为 y=0.54+0.4=2.4(百万元) .B组1.下列叙述中: 变量间关系有函数关系,又有相关关系; 回归函数即用函数关系近似地描述相关关系; 线性回归方程 y=bx+a中, b= ,a= -b ;=1(-)(-)=1(-)2 线性回归方程一定可以近似地表示相关关系 .其中正确的有( )A. B.C. D.解析 线性回归方程只能近似地表示线性相关关系 .答案 A2.对具有线性相关关系的变量
10、 x,y有一组预测数据( xi,yi)(i=1,2,8),其回归直线方程是y= x+a,且 x1+x2+x8=2(y1+y2+y8)=6,则实数 a的值是( )13A. B.116C. D.解析 由题意易知 ,代入线性回归方程得 a=.=34,=38答案 B53.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1号到 5号每天打篮球时间 x(单位:时)与当天投篮命中率 y之间的关系:时间x 1 2 3 4 5命中率 y0.40.50.60.60.4小李这 5天的平均投篮命中率为 ;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6号打 6时篮球的投篮命中率为 . 答案 0.5
11、0.534.2018年 6月 22日,某市物价部门对本市的 5家商场的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价和销售量之间的一组数据如下表所示:价格 x/元 99.5 m10.511销售量y/件11 n 86 5由数据对应的散点图可知,销售量 y与价格 x之间有较强的线性相关关系,其线性回归方程是 y=-3.2x+40,且 m+n=20,则其中的 n= . 解析 (9+9.5+m+10.5+11)=8+ (11+n+8+6+5)=6+,线性回归方程一定经过样本中心( ),=15 5,=15 ,所以 6+=-3.2 +40,即 3.2m+n=42,由 解得 故 n=10.(8+5) 3.2+
12、=42,+=20, =10,=10,答案 105.以下关于线性回归的判断,正确的有 个 . 若散点图中所有点都在一条直线附近,则这条直线为回归直线; 散点图中的绝大多数点都线性相关,个别特殊点不影响线性回归,如图中的点 A,B,C; 已知线性回归方程为 y=0.50x-0.81,则当 x=25时, y的估计值为 11.69; 线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势 .解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条,而根据回归直线的定义知,只有按最小二乘法求得回归系数 a,b得到的直线 y=a+bx才是回归直线,故 不正确; 正确;将 x=25代入 y=0.50x-0.81,解得 y=11
13、.69,故 正确; 正确 .答案 36. 导学号 36424032某企业上半年产品产量与单位成本资料如下:月份产量 /千件单位成本/元1 2 732 3 723 4 714 3 735 4 696 5 686且已知产量 x与单位成本 y具有线性相关关系 .(1)求出线性回归方程 .(2)指出产量每增加 1 000件时,单位成本平均变动多少?(3)假定产量为 6 000件时,单位成本为多少元?解 (1)n=6, =3.5, =71, =79, xiyi=1 481,6=12 6=1b= -1.82,1 481-63.57179-63.52a= -b 71 +1.823.5=77.37, 则线性回
14、归方程为 y=bx+a=-1.82x+77.37.(2)因为单位成本平均变动 b=-1.820,且产量 x的计量单位是千件,所以根据回归系数 b的意义有产量每增加一个单位即 1 000件时,单位成本平均减少 1.82元 .(3)当产量为 6 000件,即 x=6时,代入线性回归方程,得 y=77.37-1.826=66.45(元) .即当产量为 6 000件时,单位成本大约为 66.45元 .7.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元) 88.28.48.68.8 9销量y(件)90 8483807568(1)求回归直线方程 x+
15、,其中 =-20, ;= =(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4元 /件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润 =销售收入 -成本)解 (1)由于 (8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=16(90+84+83+80+75+68)=80.=16所以 =80+208.5=250,=从而回归直线方程为 =-20x+250.(2)设工厂获得的利润为 L元,依题意得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1 000=-20 +361.25.(-334)2当且仅当 x=8.25时, L取得最大值 .故当单价定为 8.25元时,工厂可获得最大利润 .
