1、1第一章 检测试题(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1.若 a,b,=c,ab=M,则( A )(A)Mc (B)Mc (C)Mc (D)Mc解析:因为 M=ab,所以 Ma 且 Mb.而 a,b ,所以 M,且 M,所以 M(),因为 =c,所以 Mc.2.下列三个命题,其中正确的有( A )用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:错,因截面不一
2、定平行于底面;错,因为各侧棱延长后不一定相交于一点;错,因为即使各侧面为等腰梯形,各侧棱延长后也不一定交于一点,故选 A.3.给出以下几种说法:和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;三条两两相交的直线在同一个平面内;有三个不同公共点的两个平面重合;两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确说法的个数是( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:错,这两条直线可能为异面直线;错,相交于一点的三条直线,可以确定三个平面;错,若这三个公共点在一条直线上,则两个平面可能是相交的;错,这三条平行线可以在一个平面内.故选 A.4.如图,长方体 ABCD A1B1C1D1中,DC+CC 1=8,
3、CB=4,M 是 AB 的中点,点 N 是平面 A1B1C1D1上的点,且满足 C1N= ,当长方体 ABCD A1B1C1D1的体积最大时,线段 MN 的最小值是( C )2(A)6 (B)8 (C) (D)4解析:依题意, =CBDCCC1=4DCCC14 =64,当且仅当 DC=CC1=4 时等号成立.因为 M 为线段 AB 的中点,如图,记 M 在 A1B1上的投影为 M,连接 MC 1交圆 C1于点 N,连接 MN,此时 MN 的长度即为所求最小值,因为 B1C1=4,B1M=2,所以 MC 1=2 ,MN=MC 1-C1N= ,故 MN= = = ,故 MN 的最小值为 .故选 C
4、.5.如图所示,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列命题正确的是( D )(A)平面 ABD平面 ABC(B)平面 ADC平面 BDC(C)平面 ABC平面 BDC(D)平面 ADC平面 ABC解析:由原来的平面图形,易知 CDBD,由于平面 ABD平面 BCD,交线为 BD,所以 CD平面ABD.所以 CDAB,而 ABAD,CDAD=D,所以AB平面 ADC,因为 AB平面 ABC,所以平面 ADC平面 ABC.故选 D.6.如图,在矩形 ABCD
5、中,AB= ,BC=1,将ACD 沿 AC 折起,使得 D 折起的位置为 D1,且 D1在平面 ABC 的射影恰好落在 AB 上,在四面体 D1ABC 的四个面中,其中有 n 对平面相互垂直,则n 等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)53解析:如图,由已知 D1O平面 ABC,D1O平面 D1AB.所以平面 D1AB平面 ABC,又 BCAB,BC平面 D1BC,所以平面 D1BC平面 D1AB,在 RtD 1BC 中,BC=1,D 1C= ,所以 D1B= ,在平面 D1AB 中,AD 1=1,AB= ,所以 A +B =AB2,所以 AD1D 1B,而 AD1D 1C,所以
6、AD1平面 D1BC,又 AD1平面 AD1C,所以平面 AD1C平面 D1BC,共 3 对平面互相垂直,故选 B.7.已知正方体 ABCD A1B1C1D1,平面 过直线 BD,平面 AB1C,平面 AB1C=m,平面 过直线 A1C1,平面 AB1C,平面 ADD1A1=n,则 m,n 所成角的余弦值为( D )(A)0 (B) (C) (D)解析:如图,由已知,m 为直线 B1O,n 为直线 A1D,又 A1DB 1C,所以 m,n 所成角即是 B1O 与 B1C所成的角,设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,在 RtB 1OC 中,B 1C= ,OC= ,所以 B1O= ,
7、cosOB 1C= = ,4即 m,n 所成角的余弦值为 .故选 D.8.如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,线段 B1D1上有两个动点 E,F,且 EF= ,则下列结论中错误的是( D )(A)ACBE(B)EF平面 ABCD(C)三棱锥 A BEF 的体积为定值(D)AEF 的面积与BEF 的面积相等解析:可证 AC平面 D1DBB1,从而 ACBE,故 A 项正确;由 B1D1平面 ABCD,可知 EF平面ABCD,B 项也正确;连接 BD 交 AC 于 O,则 AO 为三棱锥 A BEF 的高,S BEF = 1= ,三棱锥A BEF 的体积为 = 为定值,C 项
8、正确;A 到 B1D1的距离与 B 到 B1D1的距离不相等.故选 D.9.一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的体积为( A )(A) (B) (C)8 (D)24解析:该旋转体是具有公共底面的两个圆锥,且底面半径为 ,则体积 V= ( )25= .故选 A.10.如图,在空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是 AB,AD 的中点,F,G 分别是 CB,CD 上的点,且 = ,若 BD=6 cm,梯形 EFGH 的面积为 28 cm2 ,则平行线 EH,FG 间的距离为( A )(A)8 cm (B)6 cm (C)4 cm (D)9 cm5解析:由
9、题知,EH= BD=3 cm,FG= BD=4 cm.设平行线 EH,FG 之间距离为 d,则 28= (3+4)d,所以 d=8 cm,故选 A.二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)11.如图所示,ABCD A1B1C1D1是正方体,若过 A、C、B 1三点的平面与底面 A1B1C1D1的交线为 l,则l 与 AC 的位置关系是 . 解析:易知 AC平面 A1C1,而 AC平面 ACB1,平面 ACB1平面 A1C1=l,故 lAC.答案:平行12.若球的表面积为 16,球心到一截面的距离为 ,则这个截面圆的面积是 . 解析:设截面圆的半径为 r,由题知,球的半径为
10、 2,则有 r2=22-( )2=1,故截面圆的面积为 r 2=.答案:13.周长为 12 的矩形,绕其一边旋转 360,得一圆柱,其最大侧面积为 . 解析:设矩形一边长为 x,则另一边长为 =6-x,S 侧 =2x(6-x)=-2(x-3) 2+18,当 x=3 时侧面积最大,最大为 18.答案:1814.已知一水平放置梯形的直观图是一等腰梯形(如图),其面积为 6,则原梯形面积为 .解析:设直观图的高为 h,则 h(2+4)=6,所以 h=2.6所以原梯形的高在直观图中对应的线段长为= =2 ,所以原梯形的高为 4 ,又两底边长不变,所以 S 原梯形 = 4 (2+4)=12 .答案:12
11、15.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF=b(ba).若 Q 是 CD 上的动点,则三棱锥 Q D1EF 的体积为. 解析: = = SQEF DD1= baa= a2b.答案: a2b三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)16.(本小题满分 12 分)如图(1),在MBC 中,MA 是 BC 边上的高,MA=3,AC=4,如图(2),将MBC 沿 MA 进行翻折,使得BAC=90,再过点 B 作 BDAC,连接 AD,CD,MD,且 AD=2 ,CAD=30.(1)求证:CD平面 MAD;(2)求点 A 到平面 MCD
12、 的距离.(1)证明:在ADC 中,AC=4,AD=2 ,CAD=30,利用余弦定理可得 CD=2,所以ADC=90,即 CDAD.因为 MAAB,MAAC,ABAC=A,故 MA平面 ABDC.7因为 CD平面 ABDC,所以 CDMA.又 ADMA=A,所以 CD平面 MAD.(2)解:因为ACD 的面积 S= 2 2=2 .故三棱锥 M ACD 的体积 V= 2 3=2 .又由(1)CD平面 MAD 知 MDCD,得 MD= ,故MCD 的面积 S= 2= ,由 = 可得 2 3= h,所以 h= ,故点 A 到平面 MCD 的距离为 .17.(本小题满分 12 分)如图,长方体 ABC
13、D A1B1C1D1中,AB=12,BC=10,AA 1=8,过点 A1,D1的平面 与棱 AB 和 CD 分别交于点 E,F,四边形 A1EFD1为正方形.(1)在图中请画出这个正方形(不必写作法),并求 AE 的长;(2)问平面 右侧部分是什么几何体,并求其体积.解:(1)正方形 A1EFD1如图所示.因为 A1E=A1D1=AB=10,A1A=8,在 RtA 1AE 中,由勾股定理知 AE=6.(2)平面 右侧部分几何体是以 A1EBB1为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式得 V= (6+12)810=720.18.(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于
14、点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将8DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D ABCFE 的体积.(1)证明:由已知得 ACBD,AD=CD.又由 AE=CF 得 = ,故 ACEF.所以 EFHD,EFHD,所以 ACHD.(2)解:由 EFAC 得 = = .由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= =4.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD 2+OH2=(2 )2+12=9=DH 2,故 ODOH.由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHD=H,所
15、以 AC平面 BHD,于是 ACOD.又由 ODOH,ACOH=O,所以 OD平面 ABC.又由 = 得 EF= .五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3= .所以五棱锥 D ABCFE 的体积 V= 2 = .19.(本小题满分 12 分)有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r 的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深9度为 3r,水面半径为 r,则容器内水的体积为 V=V 圆锥 -V 球 = ( r)23r- r 3=
16、r 3.将球取出后,设容器中水的深度为 h,则水面圆的半径为 ,从而容器内水的体积为V= h= h 3,由 V=V,可得 h= r.20.(本小题满分 13 分)如图所示,平面 PAB平面 ABC,平面 PAC平面 ABC,AE平面 PBC,E 为垂足.(1)求证:PA平面 ABC;(2)当 E 为PBC 的垂心时,求证:ABC 为直角三角形.证明:(1)如图,在平面 ABC 内取一点 D,作 DFAC 于 F,作 DGAB于 G,因为平面 PAC平面 ABC,且平面 PAC平面 ABC=AC,所以 DF平面 PAC,所以 DFAP,同理可证 DGAP.又 DGDF=D,DG平面 ABC,DF
17、平面 ABC,所以 PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长交 PC 于 H,因为 E 为PBC 的垂心,所以 PCBE.10因为 AE平面 PBC,所以 PCAE.又 BEAE=E,所以 PC平面 ABE,所以 PCAB.又 PA平面 ABC,所以 PAAB.又 PCPA=P,所以 AB平面 PAC.所以 ABAC,即ABC 是直角三角形.21.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PC平面 ABCD,ABDC,DCAC,(1)求证:DC平面 PAC;(2)求证:平面 PAB平面 PAC;(3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA平面 CEF?说明理由.(1)证明:因为 PC平面 ABCD,所以 PCDC.又因为 DCAC,所以 DC平面 PAC.(2)证明:因为 ABDC,DCAC,所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD,所以 PCAB.所以 AB平面 PAC.所以平面 PAB平面 PAC.(3)解:棱 PB 上存在点 F,使得 PA平面 CEF.理由如下:取 PB 中点 F,连接 EF,CE,CF.因为 E 为 AB 的中点,所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF,EF平面 CEF,所以 PA平面 CEF.
