1、11.2.1 平面的基本性质与推论1.若点 A 在平面 内,直线 a 在平面 内,点 A 不在直线 a 上,用符号语言可表示为( A )(A)A,a,Aa (B)A,a,Aa(C)A,a ,A a (D)A,a,A a解析:点与线、面的关系用、;线与面的关系用 、.B 项中,“a”错;C 项中“A”错;D 项中“A a”错.故选 A.2.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1,E,F 分别为棱 A1B1,BB1的中点,则 D1E 与 CF 的延长线交于一点,此点在直线( B )(A)AD 上(B)B1C1上(C)A1D1上(D)BC 上解析:由平面基本性质知:D 1E 与 CF 的交点在平面
2、 A1B1C1D1上,也在平面 BB1C1C 上,故交点在两平面的交线 B1C1上.3.下列推断中,错误的是( C )(A)Al,A,Bl,Bl (B)A,A,B,B=AB(C)l,Al A(D)A,B,C,A,B,C,且 A,B,C 不共线, 重合解析:选项 A 即为直线 l 上有两点在平面内,则直线在平面内;选项 B 即为两平面的公共点在公共直线上;选项 D 为不共线的三点确定一个平面,故 D 也对.选 C.24.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M,那么( A )(A)M 一定在直线 AC 上(B)M 一定
3、在直线 BD 上(C)M 可能在直线 AC 上,也可能在直线 BD 上(D)M 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上解析:点 M 一定在平面 ABC 与平面 CDA 的交线 AC 上.选 A.5.不共线三点 A,B,P 且 P平面 ,AP=A 1,BP=B 1,AB=O,当点 P 在空间中变动时,定点 O 与动直线 A1B1的位置关系是 . 解析:由题意知平面 ABP=A 1B1,AB=O,所以 O平面 ABP,且 O,所以 OA 1B1.答案:OA 1B16.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,m=A,Al;(3)Pl,P ,
4、Ql,Q.解:(1)点 A 在平面 内,点 B 不在平面 内,如图(1);(2)直线 l 在平面 内,直线 m 与平面 相交于点 A,且点 A 不在直线 l 上,如图(2);(3)直线 l 经过平面 外一点 P 和平面 内一点 Q,如图(3).7.如图,已知直线 AB 和 AC 都在平面 内,直线 BC 与直线 AB,AC 分别相交于 B,C 两点,试判断直线 BC 与平面 的位置关系.解:因为 ABBC=B,所以 BAB,即 B;同理,ACBC=C,所以 CAC,即 C,即直线 BC 上有两点 B,C 在平面 内,由基本性质 1,得直线 BC平面 .38.已知 m,n 为异面直线,m平面 ,
5、n 平面 ,=l,则 l( B )(A)与 m、n 都相交 (B)与 m、n 中至少一条相交(C)与 m、n 都不相交 (D)与 m、n 中的一条相交解析:假设 m,n 都不与 l 相交,由 m,n 得:ml,nl,所以mnl.这与 m,n 为异面直线矛盾,因此结合图形可得 l 与 m,n 至少一条相交,故选 B.9.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM 与 ED 平行;CN 与 BM 是异面直线;CN 与 BE 是异面直线;DN 与 BM 是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是 .解析:把平面图形还原为正方体如图所示.观察图形,可知:BM 与 ED 是异面直线,CN 与 BE
6、 是平行直线,故错误.答案:10.正方体 ABCD A1B1C1D1中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B 1C1的中点,那么过 P、Q、R 的截面图形是 . 解析:如图所示,取 C1D1中点 E,连接 RE,则 RE PQ,所以 P、Q、E、R 共面.记这个平面为 ,延长 QP 与 CB,延长线交于 M,连接 MR,交 B1B 于 F,则 F.由平面几何知识得 F 是 B1B 的中点,同理 D1D 的中点 G,连接 PF,QG,GE,4则正六边形 EGQPFR 就是截面图形,如图所示.答案:正六边形11.已知正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别为 D1C1,C1B1的中点,AC
7、BD=P,A1C1EF=Q.求证:(1)D,B,F,E 四点共面;(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P,Q,R 三点共线.证明:(1)如图.连接 B1D1.因为 EF 是D 1B1C1的中位线,所以 EFB 1D1.在正方体 AC1中,B1D1BD,所以 EFBD.所以 EF,BD 确定一个平面,即 D,B,F,E 四点共面.(2)正方体 AC1中,设平面 A1ACC1确定的平面为 ,又设平面 BDEF 为 .因为 QA 1C1,所以 Q.又 QEF,所以 Q.则 Q 是 与 的公共点,同理 P 是 与 的公共点,所以 =PQ.又 A1C=R,所以 RA 1C.所以 R,且
8、R,则 RPQ.故 P,Q,R 三点共线.12.如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 8 cm,M,N,P 三点分别是 AB,A1D1,BB1的中点.5(1)画出过 M,N,P 三点的平面与平面 A1B1C1D1的交线,以及与平面 BB1C1C 的交线;(2)设过 M,N,P 三点的平面与 B1C1交于点 Q,求 PQ 的长.解:(1)设 M、N、P 三点确定的平面为 ,则 与平面 AB1交于 MP.设 MPA 1B1=R.则 RN 是 与平面 A1B1C1D1的交线.设 RNB 1C1=Q,则 PQ 是 与平面 BB1C1C 的交线.(2)由正方体的棱长为 8 cm,M、P 分别为 AB、BB 1的中点,得 B1R=BM=4 cm.在RA 1N 中, = ,所以 B1Q= 4= .在 RtPB 1Q 中,因为 PB1=4,B1Q= ,所以 PQ= = (cm).所以 PQ 的长为 cm.
