1、11.1.7 柱、锥、台和球的体积1.已知高为 3 的直棱柱 ABC ABC的底面是边长为 1 的正三角形(如图所示).则三棱锥B ABC 的体积为( D )(A) (B)(C) (D)解析:依题意: = 3 12= .故选 D.2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( C )(A)11 (B)16 (C)17 (D)18解析:如图,设圆锥底半径 OB=R,高 PO=h,因为 O为 PO 为中点,所以 PO= ,因为 = = ,所以 OA= ,所以 V 圆锥 PO = ( )2= R 2h.V 圆台 OO = ( )2+R2+ R) = R 2h.2所以 = ,故选
2、 C.3.一球的体积扩大为原来的 8 倍,则此球的表面积扩大为原来的( B )(A)2 倍 (B)4 倍 (C)2 倍 (D)8 倍解析:设球半径为 r,扩大后半径为 R,则有 R 3=8 r 3,所以 R=2r.所以扩大后球表面积为 4R 2=4(2r) 2=16r 2,而原球表面积为 4r 2.故扩大为原来的 4 倍.4.若正方体的棱长为 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )(A) (B) (C) (D)解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为 1,其中每个正四棱锥的高均为 ,故正八面体的体积
3、V=2V正四棱锥 =2 12 = .故选 B.5.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90,C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( C )(A)36 (B)64 (C)144 (D)256解析:由题意知当三棱锥的三条棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为 r,则 r2r=36,解得 r=6,所以球 O 的表面积 S=4r 2=144,选 C.6.在ABC 中,AB=2,BC=3,ABC=120,若使ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( D )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:如图所示,所形成的几何体是一
4、个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分,这两个圆锥的底3面半径 r=AD=ABsin 60=2 = ,小圆锥的高是 BD=ABcos 60=2 =1,大圆锥的高是CD=BD+BC=1+3=4,则所形成的几何体的体积是 ( )24- ( )21=3.7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为 1 cm 和半径为 3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为 20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28 cm,则这个简单几何体的总高度为( A )(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm解析:在题
5、图(2)和题图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为 h,则有 1 2(h-20)=3 2(h-28),解得 h=29(cm).8.如图所示,扇形所在圆的圆心角为 90,弦 AB 将这个扇形分成两个部分,这两部分各以 AO所在直线为轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积 V1和 V2之比为 . 解析:ABO 绕 AO 所在直线旋转一周得圆锥,扇形 ABO 绕 AO 所在直线旋转一周得半球体,设 AO=R,V 半球 = R 3,V 圆锥 = RR2= R3,所以 V1V 2=V 圆锥 (V 半球 -V 圆锥 )=11.答案:1149.如图(1),一个正三棱柱形容
6、器,底面边长为 a,高为 2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图(2),则原来容器内水面的高度为 . 图(1) 图(2)解析:设题图(1)中容器内水面的高度为 h,水的体积为 V,则 V=SABC h.又题图(2)中水组成了一个直四棱柱,其底面积为 SABC ,高度为 2a,则 V= SABC 2a,所以 h= = a.答案: a10.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2,P 是 BC 的中点,点 Q 是棱 CC1上的动点.(1)点 Q 在何位置时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥 B1 DBQ 的体积;(3
7、)若点 Q 是棱 CC1的中点时,记过点 A,P,Q 三点的平面截正方体所得截面面积为 S,求 S.解:(1)当 Q 是棱 CC1的中点时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,理由:延长 D1Q、DC 交于点 O,则 QC 为DD 1O 的中位线,所以 C 为 DO 的中点,延长 AP、DC 交于点 O,则 PC 为ADO的中位线,所以 C 为 DO的中点,所以点 O 与点 O重合,所以直线 D1Q、DC、AP 交于一点.5(2) = = ( 22)2= .(3)连接 AD1、PQ,由(1)知,AD 1PQ,所以梯形 APQD1为所求截面,梯形 APQD1的高为 = ,S= ( +2 ) = .11.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解:如图作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为 3r,水面半径为 r,则容器内水的体积为V=V 圆锥 -V 球= ( r)23r- r 3= r 3.将球取出后,设容器中水的深度为 h,则水面圆的半径为 h,从而容器内水的体积是V= ( h)2h= h 3.由 V=V得 h= r.
