1、11.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,且面积为 ,则该圆锥的全面积是( A )(A)3 (B)3 (C)6 (D)9解析:设圆锥底面半径为 r,则 = 2r r,所以 r=1.所以母线 l=2r=2,所以 S 全 =S 侧 +S 底 =rl+r 2=3.故选 A.2.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )(A)12 (B) (C)8 (D)4解析:由题知正方体棱长为 2,球的直径为 2 ,半径 R= ,则球的表面积 S=4R 2=12.故选 A.3.圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形,则圆柱的全面积为( C )(A
2、)6(4+3)(B)8(3+1)(C)6(4+3)或 8(3+1)(D)6(4+1)或 8(3+2)解析:圆柱侧面积为 64=24 2以边长为 6 的边为高时,S 全 =24 2+8,以边长为 4 的边为高时,S 全 =24 2+18.故选 C.4.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A )(A) (B)(C) (D)解析:设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2r,所以 S 全 =2r 2+2rh=2r 2(1+2)2又 S 侧 =h2=4 2r2,所以 = .故选 A.5.圆台的较小底面半径为 1,母线长为 2,一条母线和底面的一条半径有交点
3、且成 60,则圆台的侧面积为 . 解析:画出圆台,则 r1=1,r2=2,l=2,S 圆台侧面 =(r 1+r2)l=6.答案:66.正六棱柱的一条最长的对角线长是 13,侧面积为 180,求棱柱的全面积.解:如图,设正六棱柱的底面边长为 a,侧棱长为 h,易知 CF是正六棱柱的一条最长的对角线,即 CF=13.因为 CF=2a,FF=h,所以 CF= = =13. 因为正六棱柱的侧面积为 180,所以 S 侧 =6ah=180, 联立解得 或当 a=6,h=5 时,S 底 =6 a22=108 .所以 S 全 =180+108 .当 a= ,h=12 时,S 底 =6 a22= ,所以 S
4、全 =180+ .37.一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2.该圆柱的表面积为 . 解析:因为圆柱的底面周长为 2,所以底面半径 r=1,又高 h=2,所以表面积 S=2r 2+2rh=6.答案:68.正四棱台的两底面边长分别是 6 cm 和 10 cm,高为 4 cm,它的表面积为 cm 2. 解析:如图,设上、下底面中心分别为 O1,O,边 A1D1,AD 的中点分别为 E1,E,连接O1O,O1E1,E1E,EO,作 O1FE 1E 交 OE 于点 F,则 O1E1=3 cm,OE=5 cm,OO1=4 cm,所以 OF=OE-O1E1=2 cm.在 RtOO 1F 中,O1F= = =
5、2 (cm),所以 EE1=2 cm.所以 S 棱台表 =S 棱台侧 +S 上底 +S 下底=4 (A1D1+AD)EE1+A1 +AD2=4 (6+10)2 +62+102=(64 +136)(cm2).答案:64 +1369.一个正四面体的所有棱长均为 ,四个顶点在同一球面上,求此球的表面积.解:如图所示,设正四面体 ABCD 的高为 AO1,设球的球心为 O,半径为 R,则 O1B= BC= .4在 RtAO 1B 中,AO1= = .在 RtOO 1B 中,O 1O2=R2-( )2=R2- .所以 AO1=R+ = ,所以 R= ,所以 S 球 =4( )2=3.10.有一塔形几何体由 3 个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).解:易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2, ,1.考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面最大正方体的底面面积的二倍.所以 S 表 =2S 下 +S 侧 =222+422+( )2+12=36.所以该几何体的表面积为 36.
