1、16.2 椭圆、双曲线、抛物线【课时作业】A 级1(2018全国卷)已知椭圆 C： 1 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( )x2a2 y24A. B13 12C. D22 223解析： a242 28， a2 ， e .2ca 222 22答案： C2一个焦点为( ，0)且与双曲线 1 有相同渐近线的双曲线方程是( )26y24 x29A. 1 B 1y218 x28 x218 y28C. 1 D 1x216 y210 y216 x210解析： 设所求双曲线方程为 t(t0)，因为一个焦点为( ，0)，所以y24 x29 26|13t|26，又焦点在 x 轴上，所以 t2，即双曲线
2、方程为 1.选 B.x218 y28答案： B3若点 P 为抛物线 y2 x2上的动点， F 为抛物线的焦点，则| PF|的最小值为( )A2 B12C. D14 18解析： 由题意知 x2 y，则 F ，设 P(x0,2x )，12 (0， 18) 20则| PF| x20 (2x20 18)2 4x40 12x20 1642 x ，2018所以当 x 0 时，| PF|min .2018答案： D4双曲线 1( a0， b0)的实轴为 A1A2，虚轴的一个端点为 B，若三角形 A1A2Bx2a2 y2b22的面积为 b2，则双曲线的离心率为( )2A. B63 62C. D2 3解析： 设
3、 B(0， b)，则| A1A2|2 a，因为三角形 A1A2B 的面积为 b2，2所以 S 2ab ab b2，12 2即 a b，2则离心率 e .ca 2b2 b22b2 32 62答案： B5设椭圆的方程为 1( ab0)，点 O 为坐标原点，离心率为 .点 A 的坐标为x2a2 y2b2 255(a,0)，点 B 的坐标为(0， b)，点 M 在线段 AB 上，且满足| BM|2| MA|，则直线 OM 的斜率为( )A. B105 1010C. D510 55解析： 由题意知，点 M ，又 e ，故 ，即 1 (23a， 13b) ca 255 c2a2 2025 45 a2 b2
4、a2 b2a2，故 1 ，即 ，故 kOM ，故选 C.45 b2a2 45 15 ba 5513b23a b2a 510答案： C6(2018北京卷)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴，若 l 被抛物线 y24 ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_解析： 由题知直线 l 的方程为 x1，则直线与抛物线的交点为(1，2 )(a0)a又直线被抛物线截得的线段长为 4，所以 4 4，即 a1.a所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案： (1,0)7已知双曲线 1( a0， b0)的离心率 e ，2，则一条渐近线与 x 轴所成x2a2 y2b2 23角的取值范围是_解析： e ，
5、2，2 4，又2c2a2c2 a2 b2，2 4，1 3，1 ，设所求角为 ，则 tan ，a2 b2a2 b2a2 ba 3 ba1tan ， .3 4 3答案： 4， 38过椭圆 C： 1 的左焦点 F 作倾斜角为 60的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两x24 y23点，则 等于_1|AF| 1|BF|解析： 由已知条件得椭圆 C 的左焦点 F(1,0)，直线 l 的方程为 y (x1)由3Error!得 5x2 8x0，解得 x0 或 x ， A(0， )， B .85 3 ( 85， 335)又 F(1,0)，| AF|2，| BF| . .65 1|AF| 1|BF| 43答
6、案： 439(2018成都市第一次诊断性检测)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为x2a2 y2b2F( ，0) ，长半轴与短半轴的比值为 2.3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N.若点 B(0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线 l 的方程解析： (1)由题可知 c ， 2， a2 b2 c2，3ab a2， b1.椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x my1， M(x1， y1)，N
7、(x2， y2)联立，得Error!消去 x 可得(4 m2)y22 my30. 16 m2480， y1 y2 ， y1y2 . 2m4 m2 34 m2点 B 在以 MN 为直径的圆上，4 0，BM BN ( my11， y11)( my21， y21)BM BN ( m21) y1y2( m1)( y1 y2)20，( m21) ( m1) 20， 34 m2 2m4 m2整理，得 3m22 m50，解得 m1 或 m .53直线 l 的方程为 x y10 或 3x5 y30.10已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，虚轴长为 4.x2a2 y2b2 5(1)求双曲线的标准
8、方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为 45的直线 l 与双曲线 C 相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，求 OAB 的面积解析： (1)依题意可得Error!解得Error!双曲线的标准方程为 x2 1.y24(2)由题意得直线 l 的方程为 y x1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 3x22 x50.由一元二次方程根与系数的关系，得 x1 x2 ， x1x2 ，23 53| AB| |x1 x2| .1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 249 203 823原点 O 到直线 l 的距离 d ，|0 0 1|12 1 2 22 S OAB |A
9、B|d .12 12 823 22 43即 OAB 的面积为 .43B 级1(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左，右焦点， Ox2a2 y2b2是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C 的离心率6为( )A. B25C. D3 25解析： 如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P，连接 P F2，由题意可知，四边形 PF1P F2为平行四边形，且 PP F2是直角三角形因为| F2P| b，| F2O| c，所以| OP| a.又| PF1| a| F2P|，| PP|2 a，所以| F2P
10、| a b，6 2所以 c a，所以 e .故选 C.a2 b2 3ca 3答案： C2(2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B 两点若 AMB90，则 k_.解析： 法一：设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)， k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 中点 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA| BB|)12 M
11、( x0， y0)为 AB 中点， M 为 A B的中点， MM平行于 x 轴， y1 y22， k2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 y k(x1)，直线方程与 y24 x 联立，消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x21， x1 x2 .2k2 4k2由 M(1,1)，得 (1 x1,1 y1)，AM (1 x2,1 y2)BM 由 AMB90，得 0，AM BM ( x11)( x21)( y11)( y21)0， x1x2( x1 x2)1 y1y2( y1 y2)10.又 y1y2 k
12、(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1，6y1 y2 k(x1 x22)，1 1 k2 k 10，2k2 4k2 (1 2k2 4k2 1) (2k2 4k2 2)整理得 10，解得 k2.4k2 4k答案： 23已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ，其一个顶点是抛物线12x24 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M，求直线 l 的方程和点 M 的坐标解析： (1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2由题意得 b ， ，3ca 12解得 a2， c1.故椭圆
13、C 的标准方程为 1.x24 y23(2)因为过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切，所以直线 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 y k(x2)1( k0)由Error!得(34 k2)x28 k(2k1) x16 k216 k80.因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以 8 k(2k1) 24(34 k2)(16k216 k8)0.整理，得 96(2k1)0，解得 k .12所以直线 l 的方程为 y (x2)1 x2.12 12将 k 代入式，可以解得 M 点的横坐标为 1，故切点 M 的坐标为 .12 (1， 32)4已知椭圆 1 的右焦点为 F，设直线 l： x
14、5 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且x25 y24斜率为 k 的直线 l1与椭圆交于 A， B 两点， M 为线段 EF 的中点(1)若直线 l1的倾斜角为 ，求 ABM 的面积 S 的值； 4(2)过点 B 作直线 BN l 于点 N，证明： A， M， N 三点共线解析： (1)由题意，知 F(1,0)， E(5,0)， M(3,0)7设 A(x1， y1)， B(x2， y2)直线 l1的倾斜角为 ， k1. 4直线 l1的方程为 y x1，即 x y1.代入椭圆方程，可得 9y28 y160. y1 y2 ， y1y2 .89 169 S ABM |FM|y1 y2| .12 y1 y2 2 4y1y2 ( 89)2 4169 8109(2)证明：设直线 l1的方程为 y k(x1)代入椭圆方程，得(45 k2)x210 k2x5 k2200，则 x1 x2 ， x1x2 .10k24 5k2 5k2 204 5k2直线 BN l 于点 N， N(5， y2) kAM ， kMN . y13 x1 y22而 y2(3 x1)2( y1) k(x21)(3 x1)2 k(x11) kx1x23( x1 x2)5 k 0，(5k2 204 5k2 310k24 5k2 5) kAM kMN.故 A， M， N 三点共线
