1、16.1 直线与圆【课时作业】A 级1若直线 l1： x ay60 与 l2：( a2) x3 x2 a0 平行，则 l1与 l2之间的距离为( )A. B4423 2C. D2823 2解析： 由 l1 l2，得 ，解得 a1，1a 2 a3 62a所以 l1与 l2的方程分别为 l1： x y60，l2： x y 0，23所以 l1与 l2之间的距离 d .|6 23|2 832答案： C2已知直线 l： y x1 平分圆 C：( x1) 2( y b)24 的周长，则直线 x3 与圆C 的位置关系是( )A相交 B相切C相离 D不能确定解析： 由已知得，圆心 C(1， b)在直线 l：
2、y x1 上，所以 b112，即圆心C(1,2)，半径为 r2.由圆心 C(1,2)到直线 x3 的距离 d312 r 知，此时，直线与圆相切答案： B3光线从点 A(3,4)发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，最后经过点 B(2,6)，则经 y 轴反射的光线的方程为( )A2 x y20 B2 x y20C2 x y20 D2 x y20解析： 点 A(3,4)关于 x 轴的对称点 A1(3，4)在经过 x 轴反射的光线上，同样点 A1(3，4)关于 y 轴的对称点 A2(3，4)在经过 y 轴反射的光线上， kA2B2.故所求直线的方程为 y62( x2)，即 2x y20，故选
3、A.6 4 2 3答案： A4已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2 ，则圆 M 与22圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是( )A内切 B相交C外切 D相离解析： 圆 M： x2 y22 ay0( a0)可化为： x2( y a)2 a2，由题意， d ，所以a2有， a2 2，解得 a2.所以圆 M： x2( y2) 22 2，圆心距为 ，半径和为 3，半径a22 2差为 1，所以二者相交答案： B5(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP
4、面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析： 设圆( x2) 2 y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P 到直线 x y20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)， r ，所以圆心 C 到直线 x y20 的距离为 2 ，可得 dmax22 2 r 3 ， dmin2 r .由已知条件可得 AB2 ，所以 ABP 面积的最大值为2 2 2 2 2ABdmax6， ABP 面积的最小值为 ABdmin2.12 12综上， ABP 面积的取值范围是2,6故选 A.答案： A6(2018全国卷)直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B 两点，则
5、|AB|_.解析： 由 x2 y22 y30，得 x2( y1) 24.圆心 C(0，1)，半径 r2.圆心 C(0，1)到直线 x y10 的距离 d ，|1 1|2 2| AB|2 2 2 .r2 d2 4 2 2答案： 2 27已知直线 l1过点(2,0)且倾斜角为 30，直线 l2过点(2,0)且与直线 l1垂直，则直线 l1与直线 l2的交点坐标为_解析： 直线 l1的斜率 k1tan 30 ，因为直线 l2与直线 l1垂直，所以直线 l233的斜率 k2 ，所以直线 l1的方程为 y (x 2)，直线 l2的方程为1k1 3 33y (x2)，联立直线 l1与 l2，得Error!
6、 得Error!即直线 l1与直线 l2的交点坐标为3(1， )33答案： (1， )38过点 C(3,4)作圆 x2 y25 的两条切线，切点分别为 A， B，则点 C 到直线 AB 的距离为_解析： 以 OC 为直径的圆的方程为 2( y2) 2 2， AB 为圆 C 与圆(x32) (52)O： x2 y25 的公共弦，所以 AB 的方程为 x2 y2 5 ，化为(x32)2 y 2 2 2543x4 y50， C 到 AB 的距离为 d 4.|33 44 5|32 42答案： 49已知两直线 l1： ax by40， l2：( a1) x y b0.求分别满足下列条件的a， b 的值(
7、1)直线 l1过点(3，1)，并且直线 l1与 l2垂直；(2)直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到 l1， l2的距离相等解析： (1) l1 l2， a(a1)( b)10，即 a2 a b0.又点(3，1)在 l1上，3 a b40.由得， a2， b2.(2)由题意知当 a0 或 b0 时不成立 l1 l2， 1 a， b ，ab a1 a故 l1和 l2的方程可分别表示为(a1) x y 0，( a1) x y 0，4 a 1a a1 a又原点到 l1与 l2的距离相等，4 ，|a 1a | | a1 a| a2 或 a ，23 a2， b2 或 a ， b2.2310已知点
8、P(0,5)及圆 C： x2 y24 x12 y240.(1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求 l 的方程；3(2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程4解析： (1)如图所示，|AB|4 ，3将圆 C 方程化为标准方程为( x2) 2( y6) 216，所以圆 C 的圆心坐标为(2,6)，半径 r4，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD AB，所以| AD|2 ，| AC|4. C 点坐标为(2,6)3在 Rt ACD 中，可得| CD|2.若直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y5 kx，即 kx y50.由点 C 到直线 AB 的距离公
9、式： 2，得 k .| 2k 6 5|k2 1 2 34故直线 l 的方程为 3x4 y200.直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为 x0.所以所求直线 l 的方程为 x0 或 3x4 y200.(2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x， y)，则 CD PD，即 0，CD PD 所以( x2， y6)( x， y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2 y22 x11 y300.B 级1(2018贵阳市适应性考试(一)已知直线 l： ax3 y120 与圆M： x2 y24 y0 相交于 A， B 两点，且 AMB ，则实数 a_. 3解析： 直线 l 的方程可变形为 y ax
10、4，所以直线 l 过定点(0,4)，且该点在圆 M135上圆的方程可变形为 x2( y2) 24，所以圆心为 M(0,2)，半径为 2.如图，因为 AMB ，所以 AMB 是等边三角形，且边长为 2，高为 ，即圆心 M 到直线 l 的距离为 3 3，所以 ，解得 a .3| 6 12|a2 9 3 3答案： 32(2018贵阳市摸底考试)过点 M(2,2)的直线 l 与坐标轴的正方向分别相交于 A， B两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积为 8，则 OAB 外接圆的标准方程是_解析： 法一：设直线 l 的方程为 1( a0， b0)，由直线 l 过点 M(2,2)，得 xa yb 2a1
11、.又 S OAB ab8，所以 a4， b4，不妨设 A(4,0)， B(0,4)， OAB 外接圆的方程2b 12为 x2 y2 Dx Ey F0，则将 O， A， B 的坐标分别代入得Error!解得Error!所以 OAB 外接圆的方程为 x2 y24 x4 y0，标准方程为( x2) 2( y2) 28.法二：设直线 l 的方程为 1( a0， b0)，由直线 l 过点 M(2,2)，得 1.又xa yb 2a 2bS OAB ab8，所以 a4， b4，所以 OAB 是等腰直角三角形，且 M 是斜边 AB 的中点，12则 OAB 外接圆的圆心是点 M(2,2)，半径| OM|2 ，所
12、以 OAB 外接圆的标准方程是2(x2) 2( y2) 28.答案： ( x2) 2( y2) 283已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：( x2) 2( y2) 2 r2(r0)关于直线x y20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解析： (1)设圆心 C(a， b)，则Error!解得Error!则圆 C 的方程为 x2 y2 r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2 y22.(2)设 Q(x， y)，则 x2 y22，且 ( x1， y1)( x2， y2) x2 y2 x y4 x y2，PQ MQ
13、令 x cos ， y sin ，2 2则 x y2 (sin cos )2PQ MQ 262sin 2.( 4)所以 的最小值为4.PQ MQ 4已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3 y290 相切(1)设直线 ax y50 与圆相交于 A， B 两点，求实数 a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数 a，使得过点 P(2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由解析： (1)设圆心为 M(m,0)(mZ)圆与直线 4x3 y290 相切，且圆的半径为 5， 5，即|4 m29|25.|4m 29|4
14、2 32 m 为整数， m1.圆的方程是( x1) 2 y225.将 ax y50 变形为 y ax5，并将其代入圆的方程，消去 y 并整理，得( a21) x22(5 a1) x10.由于直线 ax y50 交圆于 A， B 两点，故 4(5 a1) 24( a21)0，即 12a25 a0，解得 a .512实数 a 的取值范围是(，0) .(512， )(2)设符合条件的实数 a 存在由(1)得 a0，则直线 l 的斜率为 .1a直线 l 的方程为 y (x2)4，即 x ay24 a0.1a直线 l 垂直平分弦 AB，圆心 M(1,0)必在直线 l 上1024 a0，解得 a .34 ，34 (512， )存在实数 a ，使得过点 P 的直线 l 垂直平分弦 AB.34 ( 2， 4)
