1、15.3 空间向量与立体几何【课时作业】A 级1在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB4，点 D 在棱 BB1上，若 BD3，则 AD 与平面AA1C1C 所成角的正切值为( )A. B235 43C. D54 23913解析： 如图，可得 ( ) 42 1252 cos AD EB AB BD EB AB EB 3 32 3 ( 为 与 的夹角)，AD EB 所以 cos ，sin ，tan ，又因为 BE平面235 135 396AA1C1C，所以所求角的正切值为 .23913答案： D2如图，在矩形 ABCD 中， AB2， AD3，点 E 为 AD 的中点，现分别沿 BE， CE
2、将ABE， DCE 翻折，使得点 A， D 重合于 F，此时二面角 EBCF 的余弦值为( )A. B721 74C. D32 34解析： 如图所示，取 BC 的中点 P，连接 EP， FP，由题意得BF CF2， PF BC，又 EB EC， EP BC， EPF 为二面角 EBCF 的平面角，而 FP ，在 EPF 中，cos EPF FB2 (12BC)2 72 EP2 FP2 EF22EPFP2 .4 74 942272 74答案： B3在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)， B(10，1,6)， C(x,4,3)为顶点的 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，则实数 x 的值
3、为_解析： 由题意得 (6，2，3)，AB ( x4,3，6)，AC (6，2，3)( x4,3，6)AB AC 6( x4)6180，解之得 x2.答案： 24已知边长为 2 的正方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的体积 V 球 ，则 OA 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为_16053解析： 如图，过点 O 作 OM平面 ABCD，垂足为点 M，则点 M 为正方形 ABCD 的中心正方形 ABCD 的边长为 2， AC2 ， AM .2 2 V 球 r3 ，球 O 的半径 OA r2 ， OA 与平面 ABCD 所成的角的余43 16053 5弦值为 cos OAM
4、.AMOA 225 1010答案： 10105如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， A1A底面 ABCD，底面四边形ABCD 为菱形， A1A AB2， ABC ， E， F 分别是 BC， A1C 的中点 3(1)求异面直线 EF， AD 所成角的余弦值；(2)点 M 在线段 A1D 上， .若 CM平面 AEF，求实数 的A1MA1D值3解析： (1)因为由题意知四棱柱 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，A1A平面 ABCD.又 AE平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 A1A AE， A1A AD.在菱形 ABCD 中， ABC ，则 ABC 是等边三角形 3因为 E 是
5、 BC 中点，所以 BC AE.因为 BC AD，所以 AE AD.故建立如图所示，以 A 为原点， AE 为 x 轴， AD 为 y 轴， AA1为 z 轴的空间直角坐标系Axyz.则 A(0,0,0)， C( ， 1,0)， D(0,2,0)， A1(0,0,2)， E( ，0,0)， F .3 3 (32， 12， 1)(0,2,0)， ，AD EF ( 32， 12， 1)cos ， ，AD EF AD EF |AD |EF | 121 1 24所以异面直线 EF， AD 所成角的余弦值为 .24(2)设 M(x， y， z)，由于点 M 在线段 A1D 上，且 ，A1MA1D则( x
6、， y， z2) (0,2，2)则 M(0,2 ，22 )， ( ，2 1,22 )CM 3设平面 AEF 的一个法向量为 n( x0， y0， z0)因为 ( ，0,0)， .AE 3 AF (32， 12， 1)由Error! 得 x00， y0 z00，12取 y02，则 z01，则平面 AEF 的一个法向量为 n(0,2，1)由于 CM平面 AEF，则 n 0，即 2(2 1)(22 )0，解得 .CM 2346(2018洛阳市第一次统考)如图，在四棱锥 PABCD 中， E， F 分别是 PC， PD 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA PD2，且平面 PAD平面
7、ABCD.(1)求证：平面 AEF平面 PCD；(2)求平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值解析： (1)证明：由题意知， PA PD AD，F 为 PD 的中点，可得 AF PD，平面 PAD平面 ABCD， CD AD， CD平面 PAD.又 AF平面 PAD， CD AF，又 CD PD D， AF平面 PCD，又 AF平面 AEF，平面 AEF平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O， BC 的中点 G，连接 OP， OG， PA PD AD， OP AD.平面 PAD平面 ABCD， OP平面 PAD， OP平面 ABCD.分别以 OA， OG， OP 所在直线为 x，
8、 y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 A(1,0,0)， C(1,2,0)，E ， F ， ， (0,1,0)(12， 1， 32) ( 12， 0， 32) AF ( 32， 0， 32) FE 设平面 AEF 的法向量为 m( x， y， z)，则Error! 即Error!可取 m(1,0， )，为平面 AEF 的一个法向量3同理，可得平面 ACE 的一个法向量为 n( ， ，1)3 3cos m， n .mn|m|n| 13 3127 217平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值为 .217B 级1(2018北京卷)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，
9、 CC1平面5ABC， D， E， F， G 分别为 AA1， AC， A1C1， BB1的中点， AB BC ， AC AA12.5(1)求证： AC平面 BEF；(2)求二面角 BCDC1的余弦值；(3)证明：直线 FG 与平面 BCD 相交解析： (1)证明： AB BC，且 E 是 AC 的中点， AC BE.在三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别是 AC， A1C1的中点， EF CC1. CC1平面 ABC， EF平面 ABC， AC平面 ABC， EF AC， EF， BE平面 BEF， EF BE E， AC平面 BEF.(2)由(1)知， EF AC， AC BE，
10、 EF EB，以 E 为原点， EA， EB， EF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz.则有 B(0,2,0)， C(1,0,0)， D(1,0,1)， C1(1,0,2)， (1，2,0)，BC (2,0,1)CD 设平面 BCD 的法向量为 n( x， y， z)，Error! 即Error!可取 n(2，1，4)易知平面 CDC1的一个法向量为 m(0,1,0)，cos m， n ，mn|m|n| 1121 2121由图可知，二面角 BCDC1的平面角为钝角，二面角 BCDC1的余弦值为 .21216(3)证法一： F(0,0,2)， G(
11、0,2,1)， (0,2，1)FG 由(2)知平面 BCD 的一个法向量为 n(2，1，4)，设直线 FG 与平面 BCD 的夹角为 ，sin |cos ， n| 0，FG |FG nFG |n| | 2 4|521 2521 0，直线 FG 与平面 BCD 相交证法二：假设直线 FG 与平面 BCD 平行，设 CD 与 EF 的交点为 M，连接 BM， B1F. FG平面 BB1FE，且平面 BB1FE平面 BCD BM， FG BM， BG FM，四边形 BMFG 为平行四边形， FM BG，易知 FM BG，假设不成立，直线 FG 与平面 BCD 相交2(2018成都市第一次诊断性检测)
12、如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中， AC6，现沿对角线 AC 把 ADC 翻折到 APC 的位置得到四面体 PABC，如图 2 所示已知 PB4 .2(1)求证：平面 PAC平面 ABC；(2)若 Q 是线段 AP 上的点，且 ，求二面角 QBCA 的余弦值AQ 13AP 解析： (1)证明：取 AC 的中点 O，连接 PO， BO 得到 PBO.四边形 ABCD 是菱形， PA PC， PO AC. DC5， AC6， OC3， PO OB4， PB4 ， PO2 OB2 PB2.2 PO OB. OB AC O， PO平面 ABC. PO平面 PAC，平面 PAC平面 ABC.
13、7(2) AB BC， BO AC.易知 OB， OC， OP 两两垂直以 O 为坐标原点， OB， OC， OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 B(4,0,0)， C(0,3,0)， P(0,0,4)， A(0，3,0)设点 Q(x， y， z)由 ，得 Q .AQ 13AP (0， 2， 43) (4,3,0)， .BC BQ ( 4， 2， 43)设 n1( x1， y1， z1)为平面 BCQ 的法向量由Error! 得Error!解得Error!取 z115，则 n1(3,4,15)取平面 ABC 的一个法向量 n2(0,0,1)cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 1532 42 152 31010二面角 QBCA 的余弦值为 .31010
