1、15.2 空间中的平行与垂直【课时作业】A 级1设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ， “m ”是“ ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析： 当 m 时，过 m 的平面 与 可能平行也可能相交，因而 m / ；当 时， 内任一直线与 平行，因为 m ，所以 m .综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件答案： B2(2018全国卷)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE与 CD 所成角的正切值为( )A. B22 32C. D52 72解析： 如图，因为 AB CD，所以 AE 与 CD
2、 所成的角为 EAB.在 Rt ABE 中，设 AB2，则 BE ，则 tan EAB ，5BEAB 52所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 .故选 C.52答案： C3已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角94 3形若 P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( )A. B512 3C. D 4 6解析： 如图，取 P1为底面 ABC 的中心，连接 PP1， AP1，由底面是边长为 的正三角形，知底面三角形的高为 ，面积为 ，又三棱柱的332 334体积为 ，则高 PP1 ， AP11， PAP1为所求角，
3、因为94 3tan PAP1 ，所以 PAP1 .3 32答案： B4如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： BD AC； BAC 是等边三角形；三棱锥 DABC 是正三棱锥；平面 ADC平面 ABC.其中正确的是( )A BC D解析： 由题意知， BD平面 ADC，故 BD AC，正确； AD 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高，平面 ABD平面 ACD，所以 AB AC BC， BAC 是等边三角形，正确；易知 DA DB DC，结合知正确；由知不正确故选 B.答案： B5
4、如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， BC1 AC，若 P 为三角形 A1B1C1内一点(不含边界)，则点 P 在底面 ABC 的投影可能在( )A ABC 的内部 B ABC 的外部C直线 AB 上 D以上均有可能解析： 因为 AC AB， AC BC1，所以 AC平面 ABC1， AC平面 ABC，所以平面 ABC1平面 ABC，所以 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上若 P 为三角形 A1B1C1内一点(不含边界)，则点 P 在底面 ABC 的投影可能在 ABC 的外部答案： B6若 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为 O
5、， M 为 PB 的中点，给出以下四个命题： OM平面 PCD； OM平面 PBC； OM平面 PDA； OM平面 PBA.其中正确的命题是_解析： 由已知可得 OM PD， OM平面 PCD 且 OM平面 PAD.故正确的只有.答案： 7已知 a， b， l 表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，有下列四3个命题：若 a， b，且 a b，则 ；若 a， b 相交，且都在 ， 外， a ， a ， b ， b ，则 ；若 ， a， b ， a b，则 b ；若 a ， b ， l a， l b， l ，则 l .其中正确的命题是_(填序号)解析： 在正方体 A1B1C1D1ABC
6、D 中，可令平面 A1B1CD 为 ，平面 DCC1D1为 ，平面 A1B1C1D1为 ，又平面 A1B1CD平面 DCC1D1 CD，平面 A1B1C1D1平面 DCC1D1 C1D1，则CD 与 C1D1所在的直线分别表示 a， b，因为 CD C1D1，但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1不平行，即 与 不平行，故错误因为 a， b 相交，假设其确定的平面为 ，根据a ， b ，可得 .同理可得 ，因此 ，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确当 a b 时， l 垂直于平面 内两条不相交直线，不可得出 l ，错误故填.答案： 8.如图， PA
7、圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O 上的一点， E、 F 分别是点A 在 PB、 PC 上的正投影，给出的下列结论正确的是_ AF PB； EF PB； AF BC； AE平面 PBC.解析： 由题意知 PA平面 ABC，所以 PA BC.又 AC BC， PA AC A，所以 BC平面 PAC.所以 BC AF.因为 AF PC， BC PC C，所以 AF平面 PBC， PB平面 PBC，所以 AF PB，又 AE PB， AE AF A，所以 PB平面 AEF，所以 PB EF.4故正确答案： 9(2018郑州市第一次质量测试)如图，在三棱锥 PABC 中，平面
8、PAB平面 ABC， AB6， BC2 ， AC2 ， D 为线段 AB 上的点，且3 6AD2 DB， PD AC.(1)求证： PD平面 ABC；(2)若 PAB ，求点 B 到平面 PAC 的距离 4解析： (1)证明：cos ABC ，236 33 CD22 2(2 )2222 cos ABC8， CD2 ，3 3 2 CD2 AD2 AC2，则 CD AB.平面 PAB平面 ABC， CD平面 PAB， PD平面 PAB， CD PD， PD AC， AC CD C， PD平面 ABC.(2)由(1)得 PD AB， PAB ， 4 PD AD4， PA4 ，2在 Rt PCD 中，
9、 PC 2 ，PD2 CD2 6 PAC 是等腰三角形，可求得 S PAC8 .2设点 B 到平面 PAC 的距离为 d，由 VBPAC VPABC，得 S PACd S ABCPD，13 13 d 3.S ABCPDS PAC故点 B 到平面 PAC 的距离为 3.10在如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD平面 ABE， AEB90， AE BE.(1)若 M 是 DE 的中点，试在 AC 上找一点 N，使得 MN平面 ABE，并给出证明；(2)求多面体 ABCDE 的体积5解析： (1)连接 BD，交 AC 于点 N，则点 N 即为所求，
10、证明如下： ABCD 是正方形， N 是 BD 的中点，又 M 是 DE 的中点， MN BE， BE平面 ABE， MN平面 ABE， MN平面 ABE.(2)取 AB 的中点 F，连接 EF， ABE 是等腰直角三角形，且 AB2， EF AB， EF AB1，12平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE AB，EF平面 ABE， EF平面 ABCD，即 EF 为四棱锥 EABCD 的高， V 四棱锥 EABCD S 正方形 ABCDEF 221 .13 13 43B 级1如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形， SD底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )A AC S
11、BB AB平面 SCDC SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角解析： 易证 AC平面 SBD，因而 AC SB，A 正确；AB DC， DC平面 SCD，故 AB平面 SCD，B 正确；6由于 SA， SC 与平面 SBD 的相对位置一样，因而所成的角相同故选 D.答案： D2把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M称为图形 M 在这个平面上的射影如图，在长方体 ABCDEFGH 中， AB5， AD4， AE3.则 EBD 在平面 EBC上的射影的面积是( )A2 B34252C10 D
12、30解析： 连接 HC，过 D 作 DM HC，连接 ME， MB，因为 BC平面 HCD，又 DM平面HCD，所以 BC DM，因为 BC HC C，所以 DM平面 HCBE，即 D 在平面 HCBE 内的射影为M，所以 EBD 在平面 HCBE 内的射影为 EBM，在长方体中， HC BE，所以 MBE 的面积等于 CBE 的面积，所以 EBD 在平面 EBC 上的射影的面积为 42 ，故选 A.12 52 32 34答案： A3如图所示，平行四边形 ABCD 中， DAB60， AB2， AD4.将 CBD 沿 BD 折起到 EBD 的位置，使平面 EBD平面 ABD.(1)求证： AB
13、 DE；(2)求三棱锥 EABD 的侧面积和体积解析： (1)证明：在 ABD 中，因为 AB2， AD4， DAB60，所以 BD2 ，AB2 AD2 2ABADcos DAB 3所以 AB2 BD2 AD2，所以 AB BD.又平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABD BD， AB平面 ABD，所以 AB平面 EBD.又 DE平面 EBD，所以 AB DE.(2)由(1)知 AB BD.7因为 CD AB，所以 CD BD，从而 DE BD.在 Rt DBE 中，因为 DB2 ， DE DC AB2，所以 S EDB BDDE2 .312 3因为 AB平面 EBD， BE平面 E
14、BD，所以 AB BE.因为 BE BC AD4，所以 S EAB ABBE4.12因为 DE BD，平面 EBD平面 ABD，平面 EBD平面 ABD BD，所以 DE平面 ABD，而AD平面 ABD，所以 DE AD，故 S EAD ADDE4.12故三棱锥 EABD 的侧面积 S S EDB S EAB S EAD82 .3因为 DE平面 ABD，且 S ABD S EBD2 ， DE2，3所以 V 三棱锥 EABD S ABDDE 2 2 .13 13 3 4334如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA ， E 是侧棱 PA 上的动点
15、3(1)求四棱锥 PABCD 的体积；(2)如果 E 是 PA 的中点，求证： PC平面 BDE；(3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，是否都有 BD CE？证明你的结论解析： (1)因为 PA平面 ABCD，所以 VPABCD S 正方形 ABCDPA 12 ，13 13 3 33即四棱锥 PABCD 的体积为 .33(2)证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 是 AC 的中点，又 E 是 PA 的中点，所以 PC OE，因为 PC平面 BDE， OE平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE.证明如下：8因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BD AC，因为 PA底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 BD PA，又 AC PA A，所以 BD平面 PAC.因为不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 CE平面 PAC，所以不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE.
