1、15.1 空间几何体【课时作业】A 级1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析： 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确答案： D2已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析： 由题意该四棱锥的直观图如图所示：2则其三视图如图：答案： C3设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A100 B 2563C. D 4003 5003解析： 由题意知切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径
2、R 5，故球的体积 V R3 5 3 ，即该西瓜的体积为 .r2 d2 42 3243 43 5003 5003答案： D4如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为 1，且侧棱 AA1平面 A1B1C1，正视图是边长为 1 的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为( )A2 B3 3C. D132解析： 由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为 ，长为 1 的长方形，所32以面积 S 1 .故选 C.32 32答案： C5(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12
3、 B122C8 D1023解析： 设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得 x2 ，2 S 圆柱表 2 S 底 S 侧 2( )22 2 12.2 2 2故选 B.答案： B6(2018福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 3 B 612 12C. 3 D 6 3 3解析： 由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示由题设得， V 四棱柱 (12)213， V 圆锥 21 ，所以该几何体的12 13 (12) 12体积 V V 四棱柱 V 圆锥 3 .故选 A.12答案： A7(2018
4、武汉市部分学校调研)一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A28 B242 5C204 D2025 5解析： 根据该几何体的三视图作出其直观图如图所示，可以看出该几何体是一个底4面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高为 2，所以该几何体的表面积 S (23)22222322212242 ，故选 B.22 12 5答案： B8祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5 世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” 意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积
5、一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A BC D解析： 设截面与底面的距离为 h，则中截面内圆的半径为 h，则截面圆环的面积为( R2 h2)；中截面圆的半径为 R h，则截面圆的面积为 ( R h)2；中截面圆的半径为 R ，则截面圆的面积为 2；中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为h2 (R h2) R2 h2( R2 h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，选 D.答案： D9(2018昆明市高三摸底调研测试)古人采取“用臼春米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于春米的“臼”多
6、用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )5A63 B72C79 D99解析： 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 325 3 363，故选 A.12 43答案： A10某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A. B12 24C. D22 32解析： 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为 a，则斜边长为 a，圆锥的底面半径为 a、母线长为 a，因此其俯视图中椭圆的长轴长
7、为222a、短轴长为 a，其离心率 e ，选 C.21 (a2a)2 22答案： C11如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视图是直角边长分别为 1 和 的直角三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的内接三棱锥3的体积的最大值为( )6A. B36 33C. D433 33解析： 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长 l2，底面半径 r1，高h .由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边为半圆直径，高为半径的l2 r2 3等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为 V 21 ，故选 B.16 3 33答案：
8、B12在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 在线段 BD1上，且 ， M 为线段BPPD1 12B1C1上的动点，则三棱锥 MPBC 的体积为( )A1 B32C. D与 M 点的位置有关92解析： ，点 P 到平面 BC1的距离是 D1到平面 BC1距离的 ，即为BPPD1 12 131. M 为线段 B1C1上的点， S MBC 33 ， VMPBC VPMBC 1 .D1C13 12 92 13 92 32答案： B13(2018天津卷)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D的体积为_解析： 正方体棱长为 1，矩形 BB1D
9、1D 的长和宽分别为 1， .27四棱锥 A1BB1D1D 的高是正方形 A1B1C1D1对角线长的一半，即为 ，22 V 四棱锥 A1BB1D1D Sh (1 ) .13 13 2 22 13答案： 1314(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值V1V2是_解析： 设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R， .V1V2 R22R43 R3 32答案： 3215一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是_解析：
10、 由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥 PABCD 所示，底面ABCD 为边长为 1 的正方形， PAD 是边长为 1 的等边三角形，作 PO AD 于点 O，则 O 为 AD的中点，所以四棱锥的体积为 V 11 .13 32 36答案： 3616(2018新疆自治区适应性检测)如图是一个四棱锥的三视图，其正视图与侧视图8都是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的外接球的体积是3_解析： 根据三视图可知，该几何体是底面边长为 2 ，斜高为 2 的正四棱锥3 3SABCD.其外接球的球心在正四棱锥的高上，设此四棱锥的底面中心为 O，外接球球心为O，连接 SO， O
11、B， O B，如图，设此四棱锥的外接球的半径为 R，则根据正四棱锥的性质，易得 SO3， OO3 R， O B ，可得(3 R)2( )2 R2，解得 R ，故球的体积6 652V R3 .43 1256答案： 1256B 级1(2018兰州市诊断考试)刘徽九章算术注记载：“邪解立方，得两堑堵邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也 ”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值 21，这一结论今称刘徽原理如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A. B 332C3 D4
12、9解析： 由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥 PABCD，其中底面是边长为 1的正方形，侧棱 PA底面 ABCD 且 PA1，所以 PC ， PC 是四棱锥 PABCD 的外接球的直3径，所以此阳马的外接球的体积为 3 ，故选 B.43(32) 32答案： B2将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B27 827C. D 3 29解析： 如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得 ，所r1 2 x2以 x22 r，所以圆柱的体积 V r2(22 r)2( r2 r3)(0r1)，设 V(r)2( r2 r3
13、)(0r1)，则 V( r)2(2 r3 r2)，由 2(2 r3 r2)0 得 r ，所以圆23柱的最大体积 Vmax2 .(23)2 (23)3 827答案： B3(2018福建市第一学期高三期末考试)如图，在四棱锥 EABCD 中，10AB CD， ABC90， CD2 AB2 CE4，点 F 为棱 DE 的中点(1)证明： AF平面 BCE；(2)若 BC4， BCE120， DE2 ，求三棱锥 BCEF 的体积5解析： (1)证明：如图，取 CE 的中点 M，连接 FM， BM.因为点 F 为棱 DE 的中点，所以 FM CD 且 FM CD2，12因为 AB CD，且 AB2，所以
14、 FM AB 且 FM AB，所以四边形 ABMF 为平行四边形，所以 AF BM，因为 AF平面 BCE， BM平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(2)因为 AB CD， ABC90，所以 CD BC.因为 CD4， CE2， DE2 ，所以 CD2 CE2 DE2，5所以 CD CE，因为 BC CE C， BC平面 BCE， CE平面 BCE，所以 CD平面 BCE.因为点 F 为棱 DE 的中点，且 CD4，所以点 F 到平面 BCE 的距离为 2.S BCE BCCEsin BCE 42sin 1202 .12 12 3三棱锥 BCEF 的体积 VBCEF VFBCE S BCE
15、2 2 2 .13 13 3 4334右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD， EC PD，且PD AD2 EC2.(1)请画出该几何体的三视图；11(2)求四棱锥 B CEPD 的体积解析： (1)该组合体的三视图如图所示(2) PD平面 ABCD，PD平面 PDCE，平面 PDCE平面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形， BC CD，且 BC DC AD2.又平面 PDCE平面 ABCD CD，BC平面 ABCD. BC平面 PDCE. PD平面 ABCD， DC平面 ABCD， PD DC.又 EC PD， PD2， EC1，四边形 PDCE 为一个直角梯形，其面积：S 梯形 PDCE (PD EC)DC 323.12 12四棱锥 B CEPD 的体积 VB CEPD S 梯形 PDCEPD 322.13 13
