1、12.3（二）导数的综合应用【课时作业】A 级1(2018昆明市高三摸底调研测试)若函数 f(x)2 x x21，对于任意的 xZ 且x(， a)，都有 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A(，1 B(，0C(，4 D(，5解析： 对任意的 xZ 且 x(， a)，都有 f(x)0 恒成立，可转化为对任意的 xZ 且 x(， a)，2 x x21 恒成立令 g(x)2 x， h(x) x21，当 xh(x)综上，实数 a 的取值范围为(，5，故选 D.答案： D2已知函数 y f(x)是 R 上的可导函数，当 x0 时，有 f( x) 0，则函数f xxF(x) xf(x) 的
2、零点个数是( )1xA0 B1C2 D3解析： 由 F(x) xf(x) 0，1x得 xf(x) ，1x设 g(x) xf(x)，则 g( x) f(x) xf( x)，因为 x0 时，有 f( x) 0，f xx所以 x0 时， 0，f x xf xx即当 x0 时， g( x) f(x) xf( x)0，此时函数 g(x)单调递增，此时 g(x)g(0)0，2当 xg(0)0，作出函数 g(x)和函数 y 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函1x数 F(x) xf(x) 的零点个数为 1 个1x答案： B3定义 1：若函数 f(x)在区间 D 上可导，即 f( x)存在，且
3、导函数 f( x)在区间 D上也可导，则称函数 f(x)在区间 D 上存在二阶导数，记作 f( x)，即 f( x) f( x).定义 2：若函数 f(x)在区间 D 上的二阶导数恒为正，即 f( x)0 恒成立，则称函数f(x)在区间 D 上为凹函数已知函数 f(x) x3 x21 在区间 D 上为凹函数，则 x 的取值范围是_32解析： f(x) x3 x21， f( x)3 x23 x， f( x)6 x3.令 f( x)0，32即 6x30，解得 x . x 的取值范围是 .12 (12， )答案： (12， )4已知函数 f(x) ， g(x)( x1) 2 a2，若当 x0 时，存
4、在 x1， x2R，使得exxf(x2) g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是_解析： 由题意得存在 x1， x2R，使得 f(x2) g(x1)成立，等价于 f(x)min g(x)max.因为 g(x)( x1) 2 a2， x0，所以当 x1 时， g(x)max a2.因为 f(x) ， x0，exx所以 f( x) .exx exx2 ex x 1x2所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 f(x)min f(1)e.3又 g(x)max a2，所以 a2e a 或 a .e e故实数 a 的取值范围是(， ，)e e答案： (， ，)e e5(2018
5、武汉市武昌区调研考试)已知函数 f(x)ln x ， aR.ax(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 a0 时，证明 f(x) .2a 1a解析： (1) f( x) (x0)1x ax2 x ax2当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增当 a0 时，若 xa，则 f( x)0，函数 f(x)在( a，)上单调递增；若 00 时， f(x)min f(a)ln a1.要证 f(x) ，只需证 ln a1 ，2a 1a 2a 1a即证 ln a 10.1a令函数 g(a)ln a 1，1a则 g( a) (a0)，1a 1a2 a 1a2当 01 时， g( a)0，
6、所以 g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以 g(a)min g(1)0.所以 ln a 10 恒成立，1a所以 f(x) .2a 1a6(2018南昌市第一次模拟测试卷)已知函数 f(x)e x aln xe( aR)，其中 e为自然对数的底数(1)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的值及函数 f(x)的单调区间；(2)若当 x1，)时， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解析： (1)易知 f(x)的定义域为(0，)由 f(x)e x aln xe( aR)，得 f( x)e x .ax4由题意可知 f(1)0，所以 ae，所以 f( x)e x .ex x
7、ex ex令 g(x) xexe，则 g( x)e x(1 x)当 x0 时， g( x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增，且 g(1)0.所以当 x(0,1)时， g(x)0，所以当 x(0,1)时， f( x)0.故函数 f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，)(2)由 f(x)e x aln xe，得 f( x)e x .ax当 a0 时， f( x)e x 0，所以 f(x)在1，)上单调递增， f(x)min f(1)ax0.(符合题意)当 a0 时， f( x)e x ，当 x1，)时，e xe.ax()当 a(0，e时，因为 x1，)，所以 e， f( x)e x 0
8、，ax ax所以 f(x)在1，)上单调递增， f(x)min f(1)0.(符合题意)()当 a(e，)时，存在 x01，)，满足 f( x0)e 0，x0ax0所以 f(x)在1， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增，故 f(x0)0 恒成立， f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当 a0 时，令 f( x)0，得 xln a， f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令 g(x)0，得 f(x)0 或 x ，12先考虑 f(x)在区间0,1上的零点个数，5当 a1 时， f(x)在(0，)上单调递增且 f(0)0， f(x)在0,1上
9、有一个零点；当 ae 时， f(x)在(，1)上单调递减， f(x)在0,1上有一个零点；当 1e1 或 a2( 1)时， g(x)在0,1上有两个零点；e当 10， a1)(1)当 ae(e 是自然对数的底数)时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若存在 x1， x21,1，使得| f(x1) f(x2)|e1，求实数 a 的取值范围解析： (1) f( x) axln a2 xln a2 x( ax1)ln a.当 ae 时， f( x)2 xe x1，在 R 上是增函数，又 f(0)0， f( x)0 的解集为(0，)， f( x)1 时，ln a0， y( ax1)ln a 在 R 上是增函数，当 01 或 00)，1a g( a)1 20，1a2 2a (1 1a) g(a) a 2ln a 在(0，)上是增函数1a而 g(1)0，故当 a1 时，g(a)0，即 f(1)f(1)；当 01 时， f(x)max f(x)min f(1) f(0)e1，即 aln ae1，函数 y aln a 在(1，)上是增函数，解得 ae；当 0a1 时， f(x)max f(x)min f(1) f(0)e1，即 ln ae1，1a函数 y ln a 在(0,1)上是减函数，解得 0a .1a 1e综上可知，实数 a 的取值范围为 e，)(0，1e
