1、1专题 01 抽象函数问题莫畏难学会“三招”可攻关一方法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法.二解题策略类型一 函数性质法【例 1】 【安徽省肥东县高级中学 2019 届 8 月调研】已知定义在 上的函数 满足条件：对任意的 ，都有 ；对任意的 且 ，都 有
2、；函数 的图象关于 轴对称，则下列结论正确的是 （ ）A B C D 【答案】C【解析】则 ， ， ，则 ，即 ，2故选 C【指点迷津】1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论(1)函数 yf(x)关于 x 2ab对称f(ax)f(bx) f(x)f(bax)特例：函数 yf(x)关于 xa 对称f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)；函数 yf(x)关于 x0 对称f(x)f(x)(即为偶函数 )(2)函数 yf(x)关于点(a，b)对称f(ax)f(ax) 2bf(2ax)
3、f(x)2b.特例：函数 yf(x)关于点(a,0)对称f(ax)f(ax) 0 f(2ax)f(x)0；函数 yf(x)关于点(0,0)对称f(x)f(x)0(即为奇函数 )(3)yf(xa)是偶函数函数 yf(x)关于直线 xa 对称； yf(xa)是奇函数 函数 yf(x)关于(a,0)对称(4)对于函数 f(x)定义域内任一自变量的值 x：若 f(xa)f(x)，则 T2a；若 f(xa) 1()fx，则 T2a；若 f(xa) ()f，则 T2a；(a0)若 f(xa)f(xb)(ab)，则 T|ab|；若 f(2ax)f(x)且 f(2bx)f(x)(ab)，则 T2|ba|.（5
4、）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反【举一反三】 【2018 年全国卷 II 理】已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】因为 是定义域为 的奇函数，且 ，3所以 ,因此 ，因为 ，所以 ，从而 ，选 C.类型二 赋值法【例 2】 【甘肃省兰州市第一中学 2019 届 9 月月考】已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 ，则 的值是（ ）A 0 B C 1 D 【答案】A【解析】【指点迷津】根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，将条件和结论有机地结合
5、起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解.【举一反三】 【江苏省南通市 2018 年高考模拟（二） 】已知函数 是定义在 上的偶函数，且对于任意的 都有 ， ，则 的值为_【答案】4【解析】函数 是定义在 上的偶函数，4，令 ，可得 ，则则 ，是以 为周期的函数，则故答案为类型三 构造函数法【例 3】 【河北省石家庄 2018 届检测（二） 】已知函数 是定义在区间 上的可导函数，满足且 ( 为函数的导函数)，若 且 ，则下列不等式一定成立的是( )A B C D 【答案】C【解析】【指点迷津】导数、不等式、函数相结合的问题,
6、往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法，通过构造函数,使抽象函数问题具体化.如本题从 出发，联想构造函数 ,从而可以用上已知条件来判断函数单5调性，进一步达到比较大小的目的. 一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2）若，就构造 ， （3） ，就构造 ， （4） 就构造，等便于给出导数时联想构造函数.【举一反三】 【甘肃省酒泉市敦煌中学 2019 届一诊】设 是定义在 上的奇函数,且 ,当 时,有 恒成立,则不等式 的解集为( )A B C D 【答案】D【解析】 ，且6根据图象可得 或不等式 的解集为故选 D.
7、三强化训练1 【河北省衡水中学 2019 届高三开学二调】已知 是定义域为 的奇函数，满足.若 ，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】2.【2018 年上海卷】设 是含数 的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当 f（1）= ， ，0 时，此时得到的圆心角为 ， ，0，然而此时 x=0 或7者 x=1 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定
8、义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 x=，此时旋转 ，此时满足一个 x 只会对应一个 y，故选：B3.【江西师范大学附属中学 2018 年 10 月高三月考】定义在 上的函数 满足 ，若 在上是增函数，记 ，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】4 【安徽省六安市舒城中学 2018 届仿真（三） 】已知定义在 R 上的函数 满足 且在上是增函数，不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是( )A B C D 【答案】B【解析】，则函数 关于 对称8函数 在 上是增函数函数 在 是减函数，即 在 上是减函数当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 或 ，
9、满足不等式 对任意 恒成立，由此排除 两个选项当 时，不等式 变为 ，根据函数 的图象特征可得出： ，解得 ，不满足不等式 对任意 恒成立，由此排除综上所述， 选项是正确的故选 .5.【江西省南昌市 2018 届二轮测试（三） 】已知函数 的图象关于点 对称，函数 对于任意的 满足 （其中 是函数 的导函数） ，则下列不等式成立的是A B C D 【答案】C【解析】96.【北京工业大学附属中学 2019 届摸底】设 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时，有恒成立，则不等式 的解集为 （ ）A B C D 【答案】D由图像可知，当 时，有 ，此时 ，故 ；当 时，有 ，此时，故 ；所以 的解集为
10、.又 等价于 ，所以 的解集为 .故选 D.7.【贵州省铜仁市第一中学 2019 届高三上第二次月考】设 是定义在 上以 为周期的偶函数，在区间上是严格单调递增函数，且满足 ， ，则不等式 的解集为_【答案】10【解析】根据函数周期为 2 且为偶函数知， ，因为，且根据对称性知函数在 上单调递减，所以 的解为 ，故填 .8.【山西大学附属中学 2019 届 9 月诊断】定义在 上的函数 的图像关于 对称，且当时， （其中 是 的导函数） ，若 ，则 的大小关系是_【答案】【解析】又, 30.3f（3 0.3）（log 3）f（log 3）即 30.3f（3 0.3）（log 3）f（log 3
11、）即：cab故答案为：cab. 9 【黑龙江省大庆实验中学 2019 届高三第一次月考】设函数 是定义在(，0)上的可导函数，其导11函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为_.【答案】 【解析】由 2f（x）+xf（x）x 2， （x0） ，得：2xf（x）+x 2f（x）x 3，即x 2f（x）x 30，令 F（x）=x 2f（x） ，则当 x0 时，得 F（x）0，即 F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014） 2f（x+2014） ，F（2）=4f（2） ，即不等式等价为 F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由 F（x+2014）F（2）得，x+20142，即 x2016，故答案为：10.【山西大学附属中学 2019 届 9 月诊断】已知函数 f(x)在(1，1)上有定义，当且仅当 0x1 时 f(x)0,且对任意 x、y(1,1)都有 f(x)+f(y)=f( ),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减【答案】 （1）见解析； （2）见解析.【解析】证明：(1)由 f(x)+f(y)=f( )可令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y=x,得 f(x)+f(x)=f( )=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数12
