1、1专题突破练 8 利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018 河南郑州二模,理 21)已知函数 f(x)=ex-x2.(1)求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程;(2)求证:当 x0 时,ln x+1.2.(2018 河南郑州一模,理 21)已知函数 f(x)=ln x+,aR 且 a0 .(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)当 x时,试判断函数 g(x)=(ln x-1)ex+x-m 的零点个数 .23.设函数 f(x)=x2-aln x,g(x)=(a-2)x.(1)略;(2)若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点 x1,x2, 求满足条件的最小正整数 a 的值; 求证:
2、 F0.34.(2018 河北保定一模,理 21 节选)已知函数 f(x)=ln x-(aR) .(1)略;(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,证明: f.5.已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点 .(1)求 a 的取值范围;(2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明: x1+x20,所以 f(x)在0,1上单调递增,所以 f(x)max=f(1)=e-1,x0,1 .f(x)过点(1,e -1),且 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=(e-2)x+1,故可猜测:当 x0,x1 时, f(x)的图象恒在切线 y=(e-2)x+1 的上方 .下证:
3、当 x0 时, f(x)(e -2)x+1,设 g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x0,则 g(x)=ex-2x-(e-2),g (x)=ex-2,g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2, + )上单调递增,又 g(0)=3-e0,g(1)=0,00;当 x( x0,1)时, g(x)0.又 xln x+1,即 ln x+1,当 x=1 时,等号成立 .2.解 (1) f(x)=(x0),当 a0 恒成立,函数 f(x)在(0, + )上递增;当 a0 时,由 f(x)0,得 x,由 f(x)0 时,函数 f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2)x 时,函数 g(x)=(
4、ln x-1)ex+x-m 的零点,即方程(ln x-1)ex+x=m 的根 .令 h(x)=(ln x-1)ex+x,h(x)=ex+1.由(1)知当 a=1 时, f(x)=ln x+-1 在递减,在1,e上递增,f (x) f(1)=0.+ln x-10 在 x 上恒成立 .h (x)=ex+10 +10,h (x)=(ln x-1)ex+x 在 x 上单调递增 .h (x)min=h=-2,h(x)max=e.所以当 me 时,没有零点,当 -2me 时有一个零点 .3.解 (1)略;(2)F (x)=x2-aln x-(a-2)x,6F (x)=2x-(a-2)-(x0).因为函数
5、F(x)有两个零点,所以 a0,此时函数 F(x)在单调递减,在单调递增 .所以 F(x)的最小值 F 0,a+ 4ln-40.令 h(a)=a+4ln-4,显然 h(a)在(0, + )上为增函数,且 h(2)=-20,所以存在 a0(2,3), h(a0)=0.当 aa0时, h(a)0,所以满足条件的最小正整数 a=3. 证明:不妨设 00,故只要证即可,即证 x1+x2,即证 +(x1+x2)(ln x1-ln x2)0,所以 m(t)0,当且仅当 t=1 时, m(t)=0,所以 m(t)在(0, + )上是增函数 .又 m(1)=0,所以当 t(0,1), m(t)0),令 p(x
6、)=x2+(2-a)x+1,由 f(x)在(0, + )有两个极值点 x1,x2,则方程 p(x)=0 在(0, + )有两个实根 x1,x2,得a4.f (x1)+f(x2)=ln x1-+ln x2-=ln x1x2-=-a,7f=f=ln=ln-(a-2).f= ln-a-2+=ln+2.设 h(a)=ln+2(a4),则 h(a)=0,则当 x( - ,1)时, f(x)0,所以 f(x)在( - ,1)内单调递减,在(1, + )内单调递增 .又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b(b-2)+a(b-1)2=a0,故 f(x)存在两个零点 .( )若 a0,因此 f(x)
7、在(1, + )内单调递增 .又当 x1 时, f(x)1,故当 x(1,ln( -2a)时, f(x)0.因此 f(x)在(1,ln( -2a)内单调递减,在(ln( -2a),+ )内单调递增 .又当 x1 时 f(x)f(2-x2),即 f(2-x2)1 时, g(x)1 时, g(x)0).当 m0 时, F(x)0 时,令 F(x)0,得 x,函数 F(x)在上单调递增;综上所述,当 m0 时,函数 F(x)在(0, + )上单调递减;当 m0 时,函数 F(x)在上单调递减,在上单调递增 .(2)原命题等价于曲线 y=f(x+1)与曲线 y=是否相同的外公切线 .函数 f(x+1)
8、=mln(x+1)在点( x1,mln(x1+1)处的切线方程为 y-mln(x1+1)=(x-x1),即 y=x+mln(x1+1)-,曲线 y=在点处的切线方程为 y-(x-x2),即 y=x+曲线 y=f(x+1)与 y=的图象有且仅有一条外公切线,所以有唯一一对( x1,x2)满足这个方程组,且 m0,由 得 x1+1=m(x2+1)2,代入 消去 x1,整理得 2mln(x2+1)+mln m-m-1=0,关于 x2(x2-1)的方程有唯一解 .令 g(x)=2mln(x+1)+mln m-m-1(x-1),g (x)=当 m0 时, g(x)在上单调递减,在上单调递增;g (x)min=g=m-mln m-1.因为 x + ,g(x) + ;x -1,g(x) + ,只需 m-mln m-1=0.令 h(m)=m-mln m-1,h(m)=-ln m 在(0, + )上为单调递减函数,且 m=1 时, h(m)=0,即 h(m)max=h(1)=0,所以 m=1 时,关于 x2的方程 2mln(x2+1)+mln m-m-1=0有唯一解,此时 x1=x2=0,外公切线的方程为 y=x. 这两条曲线存在相同的紧邻直线,此时 m=1.
