1、1专题突破练 6 函数的单调性、极值点、极值、最值1.已知函数 f(x)=(k为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与 x轴平行 .(1)求 k的值;(2)求 f(x)的单调区间 .2.(2018福建龙岩 4月质检,理 21节选)已知函数 f(x)=(x-2)ex-a(x+2)2.(1)求函数 g(x)=f(x)+3ex的极值点;2(2)略 .3.(2018山东师大附中一模,文 21)已知函数 f(x)=(x-a)ex(aR) .(1)当 a=2时,求函数 f(x)在 x=0处的切线方程;(2)求 f(x)在区间1,2上的最小值 .34.(2018山西晋
2、城一模,文 21)已知函数 f(x)=ax2+(a-1)x+(1-2a)ln x(a0).(1)若 x=2是函数的极值点,求 a的值及函数 f(x)的极值;(2)讨论函数的单调性 .5.(2018百校联盟三月联考,理 21)已知函数 f(x)=ln x.(1)设 g(x)=f(x)-ax+1,讨论 g(x)的单调性;(2)若不等式 f(x)( a-e)x+b恒成立,其中 e为自然对数的底数,求的最小值 .46.(2018山西孝义一模,理 21)已知函数 f(x)=2ln x-ax2+3.(1)讨论函数 y=f(x)的单调性;(2)若存在实数 m,n1,5满足 n-m2 时, f(m)=f(n)
3、成立,求实数 a的最大值 .参考答案专题突破练 6 函数的单调性、极值点、极值、最值1.解 (1)由题意得 f(x)=,又 f(1)=0,故 k=1.(2)由(1)知, f(x)=设 h(x)=-ln x-1(x0),5则 h(x)=-0,从而 f(x)0;当 x1时, h(x)0.( )当 a0时,令 g(x)=0,解得 x=-2或 x=ln(2a). 若 a=,ln(2a)=-2,g(x)0 恒成立; 若 a,ln(2a)-2,在( -2,ln(2a)上, g(x)0. 若 a0.综上,当 a0 时, g(x)极小值点为 -2,无极大值点;当 0时, g(x)极小值点为 ln(2a),极大
4、值点为 -2;当 a=时, g(x)无极值点 .(2)略 .3.解 (1)设切线的斜率为 k.因为 a=2,所以 f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex(x-1).所以 f(0)=-2,k=f(0)=e0(0-1)=-1.所以所求的切线方程为 y=-x-2,即 x+y+2=0.(2)由题意得 f(x)=ex(x-a+1),令 f(x)=0,可得 x=a-1. 若 a-11,则 a2,当 x1,2时, f(x)0,则 f(x)在1,2上单调递增 .所以 f(x)min=f(1)=(1-a)e. 若 a-12,则 a3,当 x1,2时, f(x)0,则 f(x)在1,2上单调递减 .所以 f(x
5、)min=f(2)=(2-a)e2.6 若 10),由已知 f(2)=2a+(a-1)+=2a-=0a=,此时 f(x)=x2-x+ln x,f(x)=x-,当 02时, f(x)0,f(x)是增函数,当 10), 当 0,即 a,01时, f(x)0,所以 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1, + )上单调递增; 当 01时, f(x)0,1,即 0时, f(x)0,710,所以 f(x)在定义域(0, + )上单调递增;综上: 当 00,则 g(x)在(0, + )上单调递增; 当 a0时,令 g(x)=0,解得 x=,当 x时, g(x)0,则 g(x)在上单调递增,x时,
6、g(x)0,当 ae 时, F(x)0,F(x)在(0, + )上是增函数, F (x)0 不可能恒成立,当 ae时,由 F(x)=+e-a=0,得 x=, 不等式 F(x)0 恒成立,F (x)max0,当 x时, F(x)0,F(x)单调递增, x时, F(x)e),令 G(x)=,xe,G(x)=令 H(x)=(x-e)ln(x-e)-e,H(x)=ln(x-e)+1,由 H(x)=0,得 x=e+,8当 x时, H(x)0,H(x)是增函数,当 x时, H(x)2e时, H(x)0, 当 x时, G(x)0,G(x)是增函数,x= 2e时, G(x)取最小值, G(2e)=-,的最小值
7、为 -6.解 (1) f(x)=-2ax=(x0),当 a0 时, f(x)0,f(x)在(0, + )上单调递增;当 a0时,令 f(x)=0,得x=,故 f(x)在上单调递增,在上单调递减 .(2)由 f(m)=f(n)得 2ln m-am2+3=2ln n-an2+3,a= ,令 n-m=t(2 t4), n=m+t,则 a=,(m1,5,2 t4),令 g(m)=,当 m的取值增大时, g(m)的值减少,故 g(m)在 m1,5上单调递减,a g(1)=(2 t4),令 h(t)=g(1)=(2 t4),则 h(t)=2,t 2, 2ln(1+t)1,则 t2+2t-2ln(1+t)(t+1)20,h(t)0,h (t)在2,4上单调递减,a h(2)=,即实数 a的最大值为
