1、1专题突破练 24 7.17.3 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)一、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.(2018 浙江卷,2)双曲线 -y2=1 的焦点坐标是( )A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2)2.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( )A.- B.- C. D.23.(2018 北京卷,理 7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin )到直线 x-my-2=0 的距离 .当 ,m 变化时, d 的最大值为( )A.1 B
2、.2 C.3 D.44.已知点 P 在抛物线 x2=4y 上,则当点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )A.(2,1) B.(-2,1)C. D.5.(2018 河北唐山三模,理 5)已知双曲线 E:=1(a0,b0)的两条渐近线分别为 l1,l2,若 E 的一个焦点 F 关于 l1的对称点 F在 l2上,则 E 的离心率为( )A. B.2 C. D.6.(2018 百校联盟四月联考,理 6)已知点 F1,F2是双曲线 C:=1(a0)的左、右焦点,点 P 是以 F1,F2为直径的圆与双曲线 C 的一个交点,若 PF1F2的面积为
3、4,则双曲线 C 的渐近线方程为( )A.y=x B.y=xC.y=x D.y=x27.(2018 福建龙岩 4 月模拟,理 9)已知以圆 C:(x-1)2+y2=4 的圆心为焦点的抛物线 C1与圆 C 在第一象限交于 A 点, B 点是抛物线 C2:x2=8y 上任意一点, BM 与直线 y=-2 垂直,垂足为 M,则 |BM|-|AB|的最大值为( )A.1 B.2 C.-1 D.88.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M(,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线的准线相交于C 点, |BF|=3,则 BCF 与 ACF 的面积之比 =( )A. B. C. D.9.已知
4、 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则 |AB|+|DE|的最小值为( )A.16 B.14 C.12 D.10二、填空题(共 3 小题,满分 15 分)10.已知 P 是抛物线 y2=4x 上任意一点, Q 是圆( x-4)2+y2=1 上任意一点,则 |PQ|的最小值为 . 11.(2018 辽宁抚顺一模,文 15)已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F,右顶点为 A,若线段 FA的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是 . 1
5、2.(2018 江苏卷,12)在平面直角坐标系 xOy 中, A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点, B(5,0),以AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 =0,则点 A 的横坐标为 . 三、解答题(共 3 个题,分别满分为 13 分,13 分,14 分)13.(2018 河南郑州一模,理 20)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2为直径的圆与直线 ax+2by-ab=0 相切 .(1)求椭圆 C 的离心率;(2)如图,过 F1作直线 l 与椭圆分别交于两点 P,Q,若 PQF2的周长为 4,求的最大值 .314.(2018 河北石家
6、庄一模,理 20)已知椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且离心率为, M为椭圆上任意一点,当 F1MF2=90时, F1MF2的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知点 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线 AF1,AF2分别与椭圆交于点 B,D,设直线 BD的斜率为 k1,直线 OA 的斜率为 k2,求证: k1k2为定值 .415.(2018 安徽江淮十校 4 月联考,理 20)已知离心率为的椭圆 C 焦点在 y 轴上,且椭圆 4 个顶点构成的四边形面积为 4,过点 M(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、 B.(1)求椭圆 C
7、的方程;(2)设 P 为椭圆上一点,且 = (O 为坐标原点) .求当 |AB|1, 10),则由圆心 C 为 AB 的中点得 C, C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与y=2x 联立解得 xD=1,D(1,2).因为 =(5-a,-2a),=0,所以(5 -a)+(-2a)(2-a)=0,即 a2-2a-3=0,解得 a=3或 a=-1.因为 a0,所以 a=3.813.解 (1)由题意 =c,即 3a2b2=c2(a2+4b2)=(a2-b2)(a2+4b2).所以 a2=2b2,e=(2) PQF2的周长为 4, 4a=4,a=由(1)知 b2=1,椭圆方程为 +y2=1
8、,且焦点 F1(-1,0),F2(1,0), 若直线 l 斜率不存在,则可得 l x 轴,方程为 x=-1,P -1, ,Q -1,- ,= -2, ,= -2,- ,故=4- 若直线 l 斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),由消去 y 得(2 k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2.则 =(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1.代入韦达定理可得 =(k2+1)+(k2-1) - +k2+1=,由 k20 可得 -1
9、, ,结合当 k 不存在时的情况,得 -1, ,所以的最大值为14.解 (1)设 |MF1|=r1,|MF2|=r2,由题知解得 a=,c=1,则 b2=1, 椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)设 A(x0,y0)(x0y00), B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 AF1的斜率不存在时,设 A -1, ,则 B -1,- ,直线 AF2的方程为 y=-(x-1),代入 +y2=1,可得 5x2-2x-7=0.x 2=,y2=-,则 D ,- . 直线 BD 的斜率为 k1=,直线 OA 的斜率为 k2=-,k 1k2= - =-9当直线 AF2的斜率不存在时,同理可得 k1k2=
10、-当直线 AF1,AF2的斜率存在时, x0 1,设直线AF1的方程为 y=(x+1),则由消去 x 可得( x0+1)2+2x2+4x+2-2(x0+1)2=0,又 =1,则 2=2-,代入上述方程可得(3 +2x0)x2+2(2-)x-3-4x0=0,x 1x0=,x 1=,则 y1=+1 =-,B -,- ,设直线 AF2的方程为 y=(x-1),同理可得 D , 直线 BD 的斜率为 k1=, 直线 OA 的斜率为 k2=,k 1k2=-所以,直线 BD 与 OA 的斜率之积为定值 -,即 k1k2=-15.解 (1)设椭圆的方程为 =1,由题意可知 e2=,得, a=2b;又顶点构成
11、的四边形是菱形,面积 S=2ab=4,a= 2,b=1,椭圆方程为 x2+=1.(2)设直线 AB 的方程为 x=0 或 x=0,A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),当 AB 的方程为 x=0 时, |AB|=4,与题意不符 .当 AB 的方程为 y=kx+3 时,由题设可得 A,B 的坐标是方程组的解 .消去 y 得(4 +k2)x2+6kx+5=0,= 36k2-20(4+k2)0,即 k25,则 x1+x2=,x1x2=,y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)=,|AB|=,10解得 -k28, 5k28.=,即( x1,y1)+(x2,y2)= (x3+y3), 当 = 0 时,由 =0,得 x1+x2=0,y1+y2=0,上述方程无解,所以此时符合条件的直线 l 不存在;当 0 时, x3=,y3=, 点 P(x3,y3)在椭圆上, 2+ 2=1,化简得 2=, 5k28, 3 24,则 ( -2,-)(,2) .综上,实数 的取值范围为( -2,-)(,2) .
