1、1专题突破练 13 求数列的通项及前 n项和1.(2018 河南郑州一模,理 17)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a2+a5=25,S5=55.(1)求数列 an的通项公式;(2)设 anbn=,求数列 bn的前 n 项和 Tn.2.已知 an为公差不为零的等差数列,其中 a1,a2,a5成等比数列, a3+a4=12.(1)求数列 an的通项公式;(2)记 bn=,设 bn的前 n 项和为 Sn,求最小的正整数 n,使得 Sn.23.(2018 山西太原三模,17)已知数列 an满足 a1=,an+1=.(1)证明数列是等差数列,并求 an的通项公式;(2)若数列 bn满足
2、bn=,求数列 bn的前 n 项和 Sn.4.(2018 江西上饶三模,理 17)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且 6Sn=3n+1+a(nN *).(1)求 a 的值及数列 an的通项公式;(2)若 bn=(3n+1)an,求数列 an的前 n 项和 Tn.35.已知数列 an满足 a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN *).(1)证明:数列 an+1-an是等比数列;(2)求数列 an的通项公式和前 n 项和 Sn.6.已知等差数列 an满足: an+1an,a1=1,该数列的前三项分别加上 1,1,3 后成等比数列,an+2log2bn=-1.(1)求数列
3、an,bn的通项公式;(2)求数列 anbn的前 n 项和 Tn.47.(2018 宁夏银川一中一模,理 17)设 Sn为数列 an的前 n 项和,已知 an0,+2an=4Sn+3.(1)求 an的通项公式:(2)设 bn=,求数列 bn的前 n 项和 .8.设 Sn是数列 an的前 n 项和, an0,且 4Sn=an(an+2).(1)求数列 an的通项公式;5(2)设 bn=,Tn=b1+b2+bn,求证: Tn1 008,6故所求的 n=1 009.3.(1)证明 a n+1=,=2,是等差数列, +(n-1)2=2+2n-2=2n,即 an=(2)解 b n=,S n=b1+b2+
4、bn=1+,则 Sn=+,两式相减得 Sn=1+=2,S n=4-4.解 (1) 6Sn=3n+1+a(nN *), 当 n=1 时,6 S1=6a1=9+a;当 n2 时,6 an=6(Sn-Sn-1)=23n,即 an=3n-1. an为等比数列,a 1=1,则 9+a=6,a=-3, an的通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)得 bn=(3n+1)3n-1,Tn=b1+b2+bn=430+731+(3n+1)3n-1,3Tn=431+732+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n,由 - ,得 -2Tn=4+32+33+3n-(3n+1)3n,-2Tn=4+-(3n+1)3n,-2
5、Tn=,T n=5.(1)证明 a n+2=3an+1-2an(nN *),a n+2-an+1=2(an+1-an)(nN *),=2.a 1=1,a2=3, 数列 an+1-an是以 a2-a1=2 为首项,公比为 2 的等比数列 .(2)解 由(1)得, an+1-an=2n(nN *),7a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1,(nN *).Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n=-n=2n+1-2-n.6.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,且 d0,由 a1
6、=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上 1,1,3 后成等比数列,得(2 +d)2=2(4+2d),解得 d=2,a n=1+(n-1)2=2n-1.a n+2log2bn=-1, log2bn=-n,即 bn=(2)由(1)得 anbn=Tn=+,Tn=+,- ,得 Tn=+2+T n=1+=3-=3-7.解 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.两式相减,得 +2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).a n0,a n+1-an=2.+2a1=4a1+3,a 1=-1(舍)或 a1=3.则 an是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, an的通项公式 an=3+2(n-1)=2n+1.(2)a n=2n+1,b n=, 数列 bn的前 n 项和 Tn=+8.(1)解 4 Sn=an(an+2),当 n=1 时,4 a1=+2a1,即 a1=2.当 n2 时,4 Sn-1=an-1(an-1+2).由 - 得 4an=+2an-2an-1,即 2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1).a n0,a n-an-1=2,a n=2+2(n-1)=2n.(2)证明 b n=,8T n=b1+b2+bn= 1-+ 1-
