1、1专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.(2018全国 ,文 4)已知椭圆 C: =1的一个焦点为(2,0),则 C的离心率为( )22+24A. B. C. D.22 2232.已知 F是双曲线 C:x2- =1的右焦点, P是 C上一点,且 PF与 x轴垂直,点 A的坐标是(1,3),则23APF的面积为( )A. B. C. D.3.已知 O为坐标原点, F是椭圆 C: =1(ab0)的左焦点, A,B分别为 C的左、右顶点, P为 C上22+22一点,且 PF x轴 .过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点,则
2、C的离心率为( )A. B. C. D.4.已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A在双曲线的渐近线上, OAF是边长为 2的等2222边三角形( O为原点),则双曲线的方程为( )A. =1 B. =124212 21224C. -y2=1 D.x2- =123 235.(2018全国 ,文 11)已知 F1,F2是椭圆 C的两个焦点, P是 C上的一点,若 PF1 PF2,且 PF2F1=60,则 C的离心率为( )A.1- B.2-32 3C. D. -13-12 36.设双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F作与 x轴垂直的直线 l交两渐近线于 A,B两点,与2
3、222双曲线的一个交点为 P,设 O为坐标原点 .若 =m +n (m,nR),且 mn=,则该双曲线的离心率为( )A. B.322 355C. D.3247.已知双曲线 E: =1(a0,b0).矩形 ABCD的四个顶点在 E上, AB,CD的中点为 E的两个焦点,2222且 2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 . 8.已知直线 l1:x-y+5=0和 l2:x+4=0,抛物线 C:y2=16x,P是 C上一动点,则点 P到 l1与 l2距离之和的最小值为 . 9.如图,已知抛物线 C1:y=x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O的直线 PA
4、,PB分别与抛物线 C1和圆 C2相切, A,B为切点 .2(1)求点 A,B的坐标;(2)求 PAB的面积 .注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点 .10.如图,动点 M与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成 MAB,且直线 MA,MB的斜率之积为 4,设动点 M的轨迹为 C.(1)求轨迹 C的方程;(2)设直线 y=x+m(m0)与 y轴相交于点 P,与轨迹 C相交于点 Q,R,且 |PQ| )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O为原点,22+233 1|+ 1|=3|e为椭圆的离心率 .(1)求椭圆的方程;(
5、2)设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点H.若 BF HF,且 MOA= MAO,求直线 l的斜率 .二、思维提升训练12.(2018全国 ,文 10)已知双曲线 C: =1(a0,b0)的离心率为 ,则点(4,0)到 C的渐近线22222的距离为 ( )A. B.2 C. D.22322 213.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在 C上, |MF|=5.若以 MF为直径的圆过点(0,2),则 C的方程为( )A.y2=4x或 y2=8x B.y2=2x或 y2=8xC.y2=4x或 y2=16x D.y
6、2=2x或 y2=16x14.在平面直角坐标系 xOy中,双曲线 -y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q,其焦点是23F1,F2,则四边形 F1PF2Q的面积是 . 315.在平面直角坐标系 xOy中,双曲线 =1(a0,b0)的右支与焦点为 F的抛物线 x2=2py(p0)2222交于 A,B两点,若 |AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 16.已知圆 C:(x+1)2+y2=20,点 B(1,0),点 A是圆 C上的动点,线段 AB的垂直平分线与线段 AC交于点 P.(1)求动点 P的轨迹 C1的方程;(2)设 M ,N为抛物线 C2:y=x2上的一动
7、点,过点 N作抛物线 C2的切线交曲线 C1于 P,Q两点,求(0,15)MPQ面积的最大值 .17.已知动点 C是椭圆 : +y2=1(a1)上的任意一点, AB是圆 G:x2+(y-2)2=的一条直径( A,B是端2点), 的最大值是 .314(1)求椭圆 的方程 .(2)已知椭圆 的左、右焦点分别为点 F1,F2,过点 F2且与 x轴不垂直的直线 l交椭圆 于 P,Q两点 .在线段 OF2上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数 m的取值范围;若不存在,请说明理由 .4专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.C 解析 因为
8、椭圆 C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x轴上, c=2,所以 a2-4=c2,所以 a2=8,a=2,所以椭圆 C的离心率 e= .2=222.D 解析 由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F的坐标为(2,0) .将 x=2代入 x2- =1,得 y=3,所以23PF=3.又点 A的坐标是(1,3),故 APF的面积为 3(2-1)=,故选 D.3.A 解析 由题意知, A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令 P ,(-,2)设 l:x=my-a,M ,E .(-,-) (0,) 直线 BM:y=- (x-a).-(+)又直线 BM经过 OE的中点, ,解得 a=3
9、c.(-)(+)=2e= ,故选 A.=134.D 解析 双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A在双曲线的渐近线上,且 OAF是2222边长为 2的等边三角形,不妨设点 A在渐近线 y=x上, 解得 所以双曲线的方程为 x2- =1.故选 D.=2,=60,2+2=2, =1,=3. 235.D 解析 不妨设椭圆方程为 =1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则 |PF1|+|PF2|=2a.22+22 F2PF1=90, PF2F1=60, c+c=2a,即( +1)c=2a.3 3e= -1.= 23+1= 2(3-1)(3-1)(3+1)=36.C 解析 在
10、 y=x中令 x=c,得 A ,B ,在双曲线 =1中令 x=c得 P .(,) (,-) 2222 (,2)当点 P的坐标为 时,由 =m +n ,(,2) 5得=(+),2= -,则 +=1,-=.由 (舍去),+=1,=29,得 =23,=13或 =13,=23 ,=13 ,2-22 =19e= .324同理,当点 P的坐标为 时, e= .(,-2) 324故该双曲线的离心率为 .3247. 2 解析 由题意不妨设 AB=3,则 BC=2.设 AB,CD的中点分别为 M,N,如图,则在 Rt BMN中, MN=2,故 BN= .2+2=(32)2+22=52由双曲线的定义可得 2a=B
11、N-BM= =1,5232而 2c=MN=2,所以双曲线的离心率 e= =2.228. 解析 在同一坐标系中画出直线 l1,l2和曲线 C如图 .922P是 C上任意一点,由抛物线的定义知, |PF|=d2,d 1+d2=d1+|PF|,显然当 PF l1,即 d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值 .6|FM|= ,922 所求最小值为 .9229.解 (1)由题意知直线 PA的斜率存在,故可设直线 PA的方程为 y=k(x-t),由 消去 y,整理得: x2-4kx+4kt=0,=(-),=142 由于直线 PA与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A的坐标为(2 t,t2).设圆 C2
12、的圆心为 D(0,1),点 B的坐标为( x0,y0),由题意知:点 B,O关于直线 PD对称,故 解得02=-02+1,0-0=0, 0= 21+2,0=221+2.因此,点 B的坐标为 .(21+2,221+2)(2)由(1)知 |AP|=t 和直线 PA的方程 tx-y-t2=0.1+2点 B到直线 PA的距离是 d= .21+2设 PAB的面积为 S(t),所以 S(t)= |AP|d= .12 3210.解 (1)设 M的坐标为( x,y),当 x=-1时,直线 MA的斜率不存在;当 x=1时,直线 MB的斜率不存在 .于是 x1,且 x -1.此时, MA的斜率为 ,MB的斜率为
13、.+1 -1由题意,有 =4.+1 -1整理,得 4x2-y2-4=0.故动点 M的轨迹 C的方程为 4x2-y2-4=0(x 1).(2)由 消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0. =+,42-2-4=0对于方程 ,其判别式 = (-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而当 1或 -1为方程 的根时, m的值为 -1或 1.结合题设( m0)可知, m0,且 m1 .设 Q,R的坐标分别为( xQ,yQ),(xR,yR),则 xQ,xR为方程 的两根,因为 |PQ|1,且 2,|=|=21+32+121+32-1221+32-1 1+32 1+32所以 12=|BC|,5
14、所以动点 P的轨迹 C1是一个椭圆,其中 2a=2 ,2c=2.5动点 P的轨迹 C1的方程为 =1.25+24(2)设 N(t,t2),则 PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.9联立方程组 消去 y整理,得(4 +20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,=2-2,25+24=1,有=80(4+202-4)0,1+2= 2034+202,12=54-204+202. 而 |PQ|= |x1-x2|= ,点 M到 PQ的高为 h= ,1+421+4280(4+202-4)4+20215+21+42由 S MPQ= |PQ|h代入化简,得12S MPQ= ,当且仅当 t2=
15、10时, S MPQ可取最大值510-(2-10)2+104510104=1305.130517.解 (1)设点 C的坐标为( x,y),则 +y2=1.2连接 CG,由 ,又 G(0,2), =(-x,2-y),=+,=+= 可得 =x2+(y-2)2- =a(1-y2)+(y-2)2- =-(a-1)y2-4y+a+ ,其中 y -1,1.=2294 94 74因为 a1,所以当 y= -1,即 1-1,即 a3时, 的最大值是 ,42(1-) 4(1-)(+74) -164(1-)由条件得 ,4(1-)(+74) -164(1-) =314即 a2-7a+10=0,解得 a=5或 a=2
16、(舍去) .综上所述,椭圆 的方程是 +y2=1.25(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为( x0,y0),则满足 =1, =1,两式相减,215+21 225+22整理,得 =- =- ,2-12-12+15(2+1)05010从而直线 PQ的方程为 y-y0=- (x-x0).050又右焦点 F2的坐标是(2,0),将点 F2的坐标代入 PQ的方程得-y0=- (2-x0),050因为直线 l与 x轴不垂直,所以 2x0- =5 0,从而 0x02.20 20假设在线段 OF2上存在点 M(m,0)(0m2),使得以 MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段 PQ的垂直平分线必过点 M,而线段 PQ的垂直平分线方程是 y-y0= (x-x0),将点 M(m,0)代入得 -y0=500(m-x0),得 m= x0,从而 m .500 45 (0,85)
