1、1专题能力训练 15 直线与圆一、能力突破训练1.圆( x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为( )A.1 B.2 C. D.22 22.已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )3 3A. B. C. D.213 2533.直线 y=kx+3 与圆( x-1)2+(y+2)2=4 相交于 M,N 两点,若 |MN|2 ,则实数 k 的取值范围是( )3A. B.(-,-125) (-,-125C. D.(-,125) (-,1254.过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则 |
2、MN|=( )A.2 B.8 C.4 D.106 65.(2018 全国 ,文 15)已知直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则 |AB|= . 6.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 7.若直线 =1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . +8.已知 P 是抛物线 y2=4x 上的动点,过 P 作抛物线准线的垂线,垂足为 M,N 是圆( x-2)2+(y-5)2=1 上的动点,则 |PM|+|PN|的最小值是 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆
3、与直线 x- y=4 相切 .3(1)求 O 的方程;(2)若 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且 |MN|=2 ,求直线 MN 的方程;3(3)设 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,若圆内的动点 P 使 |PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求 的取值范围 .10.已知 O:x2+y2=4,点 A( ,0),以线段 AB 为直径的圆内切于 O,记点 B 的轨迹为 .3(1)求曲线 的方程;(2)直线 AB 交 O 于 C,D 两点,当 B 为 CD 的中点时,求直线 AB 的方程 .11.已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与 C:(x-2)2+(y-3)
4、2=1 交于 M,N 两点 .(1)求 k 的取值范围;(2)若 =12,其中 O 为坐标原点 ,求 |MN|.2二、思维提升训练12.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 .则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)22=1 的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离13.(2018 全国 ,文 8)已知直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、 y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆( x-2)2+y2=2 上,则 ABP 面积的取值范围是( )A.2,6 B.4,8C. ,3 D.2 ,3 2 2 2 214.在平面直角坐标系 x
5、Oy 中, A(-12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x2+y2=50 上 .若 20,则点 P 的横坐标的取值范围是 . 15.在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P ;当 P(2+2, -2+2)是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身 .现有下列命题: 若点 A 的“伴随点”是点 A,则点 A的“伴随点”是点 A; 单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上; 若两点关于 x 轴对称,则它们的“伴随点”关于 y 轴对称; 若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线 .其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 16.在平面直角坐标系 xOy
6、中,已知 C1:(x+3)2+(y-1)2=4 和 C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被 C1截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程;3(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,它们分别与 C1和C2相交,且直线 l1被 C1截得的弦长与直线 l2被 C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标 .17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M:x2+y2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4).(1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线
7、x=6 上,求圆 N 的标准方程;(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B,C 两点,且 BC=OA,求直线 l 的方程;3(3)设点 T(t,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 ,求实数 t 的取值范围 .+=4专题能力训练 15 直线与圆一、能力突破训练1.C 解析 由题意可知圆心坐标为( -1,0),故圆心到直线 y=x+3 的距离 d= ,|-1-0+3|2 =2故选 C.2.B 解析 由题意知, ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点,设为 P,而线段AB 垂直平分线的方程为 y- ,它与 x=1 联立得圆心 P 坐标为 ,则
8、|OP|=32=33(-12) (1,233).12+(233)2=2133.B 解析 当 |MN|=2 时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1, -2)到直线3y=kx+3 的距离为 =1,即 =1,解得 k=- .若使 |MN|2 ,则 k - .4-(3)2|+5|1+2 1253 1254.C 解析 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点 A,B,C 代入,得 解得+3+10=0,4+2+20=0,-7+50=0,=-2,=4,=-20.则圆的方程为 x2+y2-2x+4y-20=0.令 x=0 得 y2+4y-20=0,设 M(0,y1),N(0,y2
9、),则 y1,y2是方程 y2+4y-20=0 的两根,由根与系数的关系,得 y1+y2=-4,y1y2=-20,故 |MN|=|y1-y2|= =4 .(1+2)2-412=16+80 65.2 解析 圆的方程可化为 x2+(y+1)2=4,故圆心 C(0,-1),半径 r=2,圆心到直线 y=x+1 的距离 d=2,|0-(-1)+1|2 =2所以弦长 |AB|=2 =2 =2 .2-2 4-2 26.(-2,-4) 5 解析 由题意,可得 a2=a+2,解得 a=-1 或 2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为( -2,
10、-4),半径为 5;当 a=2 时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0, +(y+1)2=-不表示圆 .(+12)27.8 解析 直线 =1 过点(1,2),+ =1.1+2a 0,b0, 2a+b=(2a+b) =4+ 4 +2 =8.(1+2) (+4) 4当且仅当 b=2a 时“ =”成立 .8. -1 解析 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆( x-2)2+(y-5)2=1 的圆心为 C(2,5),根据抛物线的26定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,进而推断出当 P,C,F 三点共线时,点 P 到点 C的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小值
11、为 |FC|= ,故(2-1)2+(5-0)2=26|PM|+|PN|的最小值是 |FC|-1= -1.269.解 (1)依题意, O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- y=4 的距离,3即 r= =2.所以 O 的方程为 x2+y2=4.41+3(2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m=0.5则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= .|5由垂径定理,得 +( )2=22,即 m= .25 3 5所以直线 MN 的方程为 2x-y+ =0 或 2x-y- =0.5 5(3)设 P(x,y),由题意得 A(-2,0),B(2,0).由 |PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得
12、 =x2+y2,(+2)2+2 (-2)2+2即 x2-y2=2.因为 =(-2-x,-y)(2-x,-y)=2(y2-1),且点 P 在 O 内,所以 由此得 y2|AA|.所以点 B 的轨迹是以 A,A 为焦点,长轴长为 4 的椭圆 .其中, a=2,c= ,b=1,故曲线 的方程3为 +y2=1.24(2)因为 B 为 CD 的中点,所以 OB CD,则 .设 B(x0,y0),则 x0(x0- )+ =0.3 20又 =1,204+20解得 x0= ,y0= .23 23则 kOB= ,kAB= ,则直线 AB 的方程为 y= (x- ),即 x-y- =0 或 x+y- =0.22
13、2 2 3 2 6 2 611.解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1.因为 l 与 C 交于两点,所以 1.|2-3+1|1+2解得 k .4- 73 4+736所以 k 的取值范围为 .(4- 73 ,4+73 )(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).将 y=kx+1 代入方程( x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1 +k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以 x1+x2= ,x1x2= .4(1+)1+2 71+2=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= +8.4(1+)1+2由题设可得 +8=12,解得 k=1,4(1+)1+2所以
14、 l 的方程为 y=x+1.故圆心 C 在 l 上,所以 |MN|=2.二、思维提升训练12.B 解析 圆 M 的方程可化为 x2+(y-a)2=a2,故其圆心为 M(0,a),半径 R=a.所以圆心到直线 x+y=0 的距离 d= a.|0+|12+12=22所以直线 x+y=0 被圆 M 所截弦长为 2 =2 a,2-22-(22)2=2由题意可得 a=2 ,故 a=2.2 2圆 N 的圆心 N(1,1),半径 r=1.而 |MN|= ,(1-0)2+(1-2)2=2显然 R-r|MN|R+r,所以两圆相交 .13. A 解析 设圆心到直线 AB 的距离 d= =2 .|2+0+2|2 2
15、点 P 到直线 AB 的距离为 d.易知 d-r d d+r,即 d3 .2 2又 AB=2 ,2S ABP= |AB|d= d,12 2 2 S ABP6 .14.-5 ,1 解析 设 P(x,y),由 20,易得 x2+y2+12x-6y20 .2 把 x2+y2=50 代入 x2+y2+12x-6y20 得 2x-y+50 .由 可得2-+5=0,2+2=50, =-5,=-5或 =1,=7.由 2x-y+50 表示的平面区域及 P 点在圆上,可得点 P 在圆弧 EPF 上,所以点 P 横坐标的取值范围为 -5 ,1.2715. 解析 对于 ,若令 P(1,1),则其伴随点为 P ,而
16、P 的伴随点为( -1,-1),而(12,-12) (12,-12)不是 P,故 错误;对于 ,令单位圆上点的坐标为 P(cos x,sin x),其伴随点为 P(sin x,-cos x)仍在单位圆上,所以 正确; 设 A(x,y)与 B(x,-y)为关于 x 轴对称的两点,则 A 的“伴随点”为 A,B 点的伴随点为 B ,A与 B关于 y 轴对称,故 正确;对于 ,取(2+2, -2+2) ( -2+2, -2+2)直线 l:y=1.设其“伴随曲线”为 C,其上任一点 M(x,y),与其对应的直线 l 上的点为 N(t,1).则由定义可知= 12+1, = -2+1, 2+ 2得 x2+
17、y2= =x,1+(-)2(2+1)2= 11+2整理得 x2+y2-x=0,显然不是一条直线 .故 错误 .所以正确的序号为 .16.解 (1)设直线 l 的方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心 C1到直线 l 的距离 d=1.22-(232)2由点到直线距离公式,得 =1,化简,得 24k2+7k=0,解得 k=0 或 k=- .|-3-1-4|2+1 724当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0;当 k=- 时,直线 l 的方程为 y=- (x-4),即 7x+24y-28=0.724 724故所求直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0
18、.(2)设点 P 坐标为( m,n),直线 l1,l2的方程分别为 y-n=k(x-m)和 y-n=- (x-m),1即 kx-y+n-km=0,- x-y+n+ m=0.1 1 直线 l1被 C1截得的弦长与直线 l2被 C2截得的弦长相等,两圆半径相等, 由垂径定理得圆心 C1到直线 l1与圆心 C2到直线 l2的距离相等 . ,|-3-1+-|2+1 =| -4-5+1|12+1化简,得(2 -m-n)k=m-n-3 或( m-n+8)k=m+n-5. 关于 k 的方程有无穷多解,8 2-=0,-3=0或 -+8=0,+-5=0.解得=52,=-12或 =-32,=132. 故点 P 坐
19、标为 .(52,-12)或 (-32,132)17.解 圆 M 的标准方程为( x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心 M(6,7),半径为 5.(1)由圆心 N 在直线 x=6 上,可设 N(6,y0).因为圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,所以 0y07,于是圆 N 的半径为 y0,从而 7-y0=5+y0,解得 y0=1.因此,圆 N 的标准方程为( x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线 l OA,所以直线 l 的斜率为 =2.4-02-0设直线 l 的方程为 y=2x+m,即 2x-y+m=0,则圆心 M 到直线 l 的距离d= .|26-7+|5 =|+5|5因为 B
20、C=OA= =2 ,22+42 5而 MC2=d2+ ,(2)2所以 25= +5,解得 m=5 或 m=-15.(+5)25故直线 l 的方程为 2x-y+5=0 或 2x-y-15=0.(3)设 P(x1,y1),Q(x2,y2).因为 A(2,4),T(t,0), ,+=所以 2=1+2-,2=1+4. 因为点 Q 在圆 M 上,所以( x2-6)2+(y2-7)2=25. 将 代入 ,得( x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点 P(x1,y1)既在圆 M 上,又在圆 x-(t+4)2+(y-3)2=25 上,从而圆( x-6)2+(y-7)2=25 与圆 x-(t+4)2+(y-3)2=25 有公共点,所以 5-5 5 +5,(+4)-62+(3-7)2解得 2-2 t2 +2 .21 21因此,实数 t 的取值范围是2 -2 ,2+2 .21 21
