1、- 1 -第 29 讲 正弦定理、余弦定理的综合应用1在 ABC 中，若 sin2Asin 2Bc)，则 b c2，cos A ，则 sin A ，所以 S35 45ABC bcsin A bc14，所以 bc35.12 25所以 b7， c5.3如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于(C)A240( 1)m B180( 1)m3 2C120( 1)m D30( 1)m3 3如图， ACD30， ABD75， AD60 m，在 Rt ACD 中， CD 60 m，ADtan ACD 60tan 30 3
2、在 Rt ABD 中， BD ADtan ABD 60tan 75 602 360(2 )m，3所以 BC CD BD60 60(2 )120( 1)m.3 3 34(2016山东卷) ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c.已知b c， a22 b2(1sin A)，则 A(C)A. B.34 3C. D. 4 6因为 b c，所以 B C.又由 A B C 得 B . 2 A2由正弦定理及 a22 b2(1sin A)得sin2A2sin 2B(1sin A)，- 2 -即 sin2A2sin 2( )(1sin A)， 2 A2即 sin2A2cos 2 (1sin
3、 A)，A即 4sin2 cos2 2cos 2 (1sin A)，A A A整理得 cos2 (1sin A2sin 2 )0，A A即 cos2 (cos Asin A)0.A因为 0A，所以 0 ，所以 cos 0，A2 2 A2所以 cos Asin A又 0A，所以 A . 45在相距 2 千米的 A、 B 两点处测量目标 C，若 CAB75， CBA60，则 A、 C 两点间的距离是 千米6在 ABC 中， ACB180607545.由正弦定理得 ，解得 AC .ACsin 60 2sin 45 66(2017浙江卷)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D 为 AB 延长线
4、上一点， BD2，连接 CD，则 BDC 的面积是 ，cos BDC .152 104依题意作出图形，如图所示，则 sin DBCsin ABC.由题意知 AB AC4， BC BD2，则 cos ABC ，sin ABC .14 154所以 S BDC BCBDsin DBC12 22 .12 154 152因为 cos DBCcos ABC ，14所以 CD .BD2 BC2 2BDBCcos DBC 10由余弦定理，得 cos BDC .4 10 42210 1047(2018华大新高考联盟教学质量测评)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c，且 2co
5、s B(ccos A acos C) b.(1)证明： A， B， C 成等差数列；(2)若 ABC 的面积为 ，求 b 的最小值332(1)证明：因为 2cos B(ccos A acos C) b，所以由正弦定理得 2cos B(sin Ccos Asin Acos C)sin B，即 2cos Bsin(A C)sin B，- 3 -在 ABC 中，sin( A C)sin B，且 sin B0，所以 cos B ，因为 B(0，)，所以 B .12 3又因为 A B C，所以 A C 2 B，23所以 A， B， C 成等差数列(2)因为 S ABC acsin B ，所以 ac6.1
6、2 332所以 b2 a2 c22 accos B a2 c2 ac ac6.当且仅当 a c 时，取等号所以 b 的最小值为 .68在 ABC 中， A B12， C 的平分线 CD 把三角形面积分成 32 的两部分，则cos A(C)A. B.13 12C. D034因为 C 的平分线 CD 把三角形面积分成 32 的两部分，所以 AC BC32， ，BCsin A ACsin B ACsin 2A所以 ，所以 cos A .2sin A 32sin Acos A 349已知 a， b， c 分别为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边， a2，且(2 b)(sin Asin B)(
7、 c b)sin C，则 ABC 面积的最大值为 .3因为 2 R， a2，asin A bsin B csin C又(2 b)(sin Asin B)( c b)sin C，可化为( a b)(a b)( c b)c，所以 a2 b2 c2 bc，所以 b2 c2 a2 bc.所以 cos A，所以 A60.b2 c2 a22bc bc2bc 12在 ABC 中，4 a2 b2 c22 bccos 60 b2 c2 bc2 bc bc bc，(当且仅当 b c 时取得“”)所以 S ABC bcsin A 4 .12 12 32 310(2017山东卷)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知b3， 6， S ABC3，求 A 和 a.AB AC 因为 6，所以 bccos A6.AB AC 又 S ABC3，所以 bcsin A6.因此 tan A1.- 4 -又 0A，所以 A .34又 b3，所以 c2 .2由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 a298232 ( )29，222所以 a .29
