1、- 1 -第 28 讲 正弦定理与余弦定理1在 ABC中， a2 b2 c2 bc，则角 A等于(C)A60 B45C120 D30因为 cos A ，b2 c2 a22bc 12又因为 0A180，所以 A120.2如图所示，正方形 ABCD的边长为 1，延长 BA至 E，使 AE1，连接 EC、 ED，则 sin CED(B)A. B.31010 1010C. D.510 515EB EA AB2， EC ，EB2 BC2 4 1 5 EDC EDA ADC .4 2 34由正弦定理，得 ，sin CEDsin EDC DCCE 15 55所以 sin CED sin EDC sin .5
2、5 55 34 10103(2016新课标卷)在 ABC中， B ， BC边上的高等于 BC，则 sin A(D)4 13A. B.310 1010C. D.55 31010如图， AD 为 ABC中 BC边上的高设 BC a，由题意知 AD BC a， B ，易知 BD AD a， DC a.13 13 4 13 23在 Rt ABD中，由勾股定理得，AB a. 13a 2 13a 2 23同理，在 Rt ACD中， AC a. 13a 2 23a 2 53因为 S ABC ABACsin BAC BCAD，12 12所以 a asin BAC a a，12 23 53 12 13所以 si
3、n BAC .310 31010- 2 -4(2017新课标卷) ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C(B)2A. B.12 6C. D.4 3因为 a 2， c ，2所以由正弦定理可知， ，2sin A 2sin C故 sin A sin C.2又 B( A C)，故 sin Bsin A(sin Ccos C)sin( A C)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又 C为
4、ABC的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0，即 tan A1.又 A(0，)，所以 A .34从而 sin C sin A .12 22 22 12由 A 知 C为锐角，故 C .34 65(2016北京卷)在 ABC中， A ， a c，则 1 .23 3 bc在 ABC 中， A ，23所以 a2 b2 c22 bccos ，即 a2 b2 c2 bc.23因为 a c，所以 3c2 b2 c2 bc，所以 b2 bc2 c20，3所以( b2 c)(b c)0，所以 b c0，所以 b c，所以 1.bc6(2015重庆卷)在 ABC中， B120， AB ， A的角平分
5、线 AD ，则 AC 2 3.6如图，在 ABD中，由正弦定理，得 ，ADsin B ABsin ADB所以 sin ADB .22所以 ADB45，所以 BAD1804512015.所以 BAC30， C30，所以 BC AB ， 所以 AC .2 67(2015安徽卷)在 ABC中， A ， AB6， AC3 ，点 D在 BC边上，34 2AD BD，求 AD的长- 3 -设 ABC 的内角 A， B， C所对边的长分别是 a， b， c，由余弦定理得a2 b2 c22 bccos A(3 )26 223 6cos2 2341836(36)90.所以 a3 .10又由正弦定理得 sin B
6、 ，bsin Aa 3310 1010由题设知 0 B ，4所以 cos B .1 sin2B1 110 31010在 ABD中，因为 AD BD，所以 ABD BAD，所以 ADB2 B，故由正弦定理得AD .ABsin Bsin 2B 6sin B2sin Bcos B 3cos B 108. ABC中， AB1， BC2，则角 C的范围是(A)A0 C B. 0C6 2C. C D. C4 2 6 3设 AC x，则 1x3，cos C 2 ，当且仅当 x 时，取“” 故4 x2 14x 3 x24x 34x x4 34xx4 32 30C .69设在 ABC中，角 A， B， C的对边
7、分别为 a， b， c，且 cos A ，cos 35B ， b3，则 c .513 145因为 cos A ，cos B ，35 513所以 sin A ，sin B ，45 1213所以 sin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B .45 513 35 1213 5665因为 ，又 b3，所以 c .bsin B csin C bsin Csin B 14510(2017天津卷)在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 asin A4 bsin B， ac (a2 b2 c2)5(1)求 cos A的值；(2)求 sin(2B A)的值(1)由 asin A4 bsin B及 ，得 a2 b.asin A bsin B由 ac (a2 b2 c2)及余弦定理，得5- 4 -cos A .b2 c2 a22bc 55acac 55(2)由(1)，可得 sin A ，代入 asin A4 bsin B，得255sin B .asin A4b 55由(1)知， A为钝角，所以 B为锐角，所以 cos B .1 sin2B255于是 sin 2B2sin Bcos B ，cos 2 B12sin 2B ，45 35故 sin(2B A)sin 2 Bcos Acos 2 Bsin A 45 55 35 255 .255
