1、- 1 -第 62 讲 直线与圆锥曲线的位置关系1直线 y kx k1 与椭圆 1 的位置关系为(A)x29 y24A相交 B相切C相离 D不确定因为直线可变形为 y k(x1)1，可知直线恒过(1,1)点，而(1,1)在椭圆内，所以直线与椭圆相交2椭圆 mx2 ny21 与直线 y1 x 交于 M， N 两点，原点与线段 MN 中点的连线的斜率为 ，则 的值是(A)22 mnA. B.22 2C2 D.12Error!消去 y，得( m n)x22 nx n10，所以 MN 的中点为( ，1 )nm n nm n依题意 ，即 .1 nm nnm n 22 mn 223已知双曲线 1( a0，
2、 b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1,2 B(1,2)C2，) D(2，)因为过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，ba所以 ，ba 3所以离心率 e2 4，c2a2 a2 b2a2所以 e2，即 e2，)4(2017南关区模拟)等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线y216 x 的准线交于 A、 B 两点，| AB|4 ，则 C 的实轴长为(C)3A. B22 2C4 D8由题意知抛物
3、线的准线为 x4，设等轴双曲线方程为： x2 y2 a2(a0)，将 x4 代入等轴双曲线方程解得 y ，16 a2因为| AB|4 ，所以 2 4 ，解得 a2.3 16 a2 3所以 C 的实轴长为 4.5抛物线 y24 x 与直线 2x y m0 相交所得的弦长为 3 ，则 m 的值为 4 .5将直线方程代入抛物线方程整理得： y22 y2 m0，所以| AB| |y1 y2| 3 ，1 1k2 52 22 8m 5所以 m4.- 2 -6(2016湖北孝感模拟)若点(3,1)是抛物线 y22 px(p0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则 p 的值是 2 .设以点 (3,
4、1)为中点的弦所在的直线交抛物线 y22 px(p0)于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则Error!由得 y y 2 p(x1 x2)，21 2则 ，由题意知， kAB2，且 y1 y22.y1 y2x1 x2 2py1 y2故 kAB 2.所以 p2.2py1 y2 2p27(2017新课标卷)设 A， B 为曲线 C： y 上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4.x24(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x
5、2， y1 ， y2 ， x1 x24，x214 x24于是直线 AB 的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(2)由 y ，得 y .x24 x2设 M(x3， y3)，由题设知 1，解得 x32，于是 M(2,1)x32设直线 AB 的方程为 y x m，故线段 AB 的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m 代入 y 得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 .2 2 m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，2 m 1解得 m7.所以直线 AB 的方程为
6、 y x7.8(2016北京东城模拟)已知双曲线 1 与直线 x y10 交于 P， Q 两点，且x2a y2b 0( O 为原点)，则 的值为(B)OP OQ 1a 1bA1 B2C3 D.32由 Error!得( b a)x22 ax( a ab)0.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 . 2ab a a abb a因为 x1x2 y1y2OP OQ x1x2(1 x1)(1 x2)2 x1x2( x1 x2)10，- 3 -所以 10，即 2a2 ab2 a a b0，2a 2aba b 2aa b即 b a2 ab，所以 2.1a 1b9平面上一
7、机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是 (，1)(1，) .依题意可知机器人运行的轨迹方程为 y24 x.设直线 l： y k(x1)，联立Error!消去 y 得 k2x2(2 k24) x k20，由 (2 k24) 24 k40，得 k21，解得 k1 或 k1.10(2016新课标卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C： y22 px(p0)于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求
8、 ；|OH|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由(1)如图，由已知得 M(0， t)， P( ， t)t22p又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N( ， t)，t2p故直线 ON 的方程为 y x，pt将其代入 y22 px 整理得 px22 t2x0，解得 x10， x2 .因此 H( ，2 t)2t2p 2t2p所以 N 为 OH 的中点，即 2.|OH|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：直线 MH 的方程为 y t x，即 x (y t)p2t 2tp代入 y22 px 得 y24 ty4 t20，解得 y1 y22 t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点
