1、- 1 -第 59 讲 双曲线1(2015福建卷)若双曲线 E： 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线x29 y216E 上，且| PF1|3，则| PF2|等于(B)A11 B9C5 D3由题意知 a3.由双曲线的定义有| PF1| PF2|3| PF2|2 a6，所以|PF2|9.2已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为(C)x2a2 y2b2 52A y x B y x14 13C y x D y x12因为 ，所以 c a，所以 b a.ca 52 52 c2 a2 12而 1 的渐近线方程为 y x，x2a2 y2b2 ba所以所
2、求的渐近线方程为 y x.123(2017天津卷)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐x2a2 y2b2近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形( O 为原点)，则双曲线的方程为(D)A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. y21 D x2 1x23 y23根据题意画出草图如图所示(不妨设点 A 在渐近线 y x 上)ba由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF60， c| OF|2.又点 A 在双曲线的渐近线 y x 上，ba所以 tan 60 .ba 3又 a2 b24，所以 a1， b ，3所以双曲线的方程为 x2 1.y2
3、34(2017新课标卷)已知 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PFy23与 x 轴垂直，点 A 的坐标是(1,3)，则 APF 的面积为(D)- 2 -A. B.13 12C. D.23 32因为 F 是双曲线 C： x2 1 的右焦点，所以 F(2,0)y23因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为(2， yP)因为 P 是 C 上一点，所以 4 1，解得 yP3，y2P3所以 P(2，3)，| PF|3.又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1，所以 S APF |PF|1 31 .12 12 325(2016北京卷)已知双曲线 1(
4、 a0， b0)的一条渐近线为 2x y0，一个x2a2 y2b2焦点为( ，0)，则 a 1 ， b 2 .5因为双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线为 2x y0，即 y2 x，所以x2a2 y2b22.ba又双曲线的一个焦点为( ，0)，所以 a2 b25.5由得 a1， b2.6(2016山东卷)已知双曲线 E： 1( a0， b0)矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，x2a2 y2b2AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|3| BC|，则 E 的离心率是 2 .如图，由题意知| AB| ，| BC|2 c.2b2a又 2|AB|3| BC|，所以 2 32 c，
5、即 2b23 ac，2b2a所以 2(c2 a2)3 ac，两边同除以 a2并整理，得 2e23 e20，解得 e2(负值舍去)7已知点 P 是双曲线 1( a0)上的一点，以点 P 及焦点 F1、 F2为顶点的三角形x24a2 y2a2的面积等于 1，且 F1PF290，求双曲线的方程根据题意有Error!由 2得| PF1|PF2|2( c24 a2)，又 c24 a2 a25 a2，所以 S PF1F1 |PF1|PF2| a21，12故所求双曲线方程为 y21.x248已知 M(x0， y0)是双曲线 C： y21 上的一点， F1， F2是 C 的两个焦点若 x22 MF1 - 3
6、-0， b0)的左顶点为 A，x2a2 y2b2右焦点为 F，点 B(0， b)，且 0，则双曲线 C 的离心率为 .BA BF 5 12因为 A( a,0)， F(c,0)， B(0， b)，所以 ( a， b)， ( c， b)，BA BF 因为 0，所以 ac b20，即 c2 a2 ac0，BA BF 所以 e2 e10，所以 e (负值舍去)1 5210已知双曲线 C 的中心在坐标原点 O，对称轴为坐标轴，点(2,0)是它的一个焦点，并且离心率为 .233(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知点 M(0,1)，设 P(x0， y0)是双曲线 C 上的点， Q 是点 P 关于原点的对称点，求 的取值范围MP MQ (1)设双曲线的方程为 1( a0， b0)，半焦距为 c，x2a2 y2b2则 c2，又由 ，得 a ， b2 c2 a21，ca 233 3故所求双曲线 C 的方程为 y21.x23(2)依题意有： Q( x0， y0)，所以 ( x0， y01)， ( x0， y01)，MP MQ 所以 x y 1，又 y 1，MP MQ 20 20 x203 20所以 x 2，MP MQ 4320由 y 1 可得， x 3，x203 20 20所以 x 22.MP MQ 4320故 的取值范围是(，2MP MQ
