1、1培优点十六 利用空间向量求夹角1利用面面垂直建系例 1：在如图所示的多面体中，平面 1AB平面 CD，四边形 1AB为边长为 2 的菱形， ABCD为直角梯形，四边形 1C为平行四边形，且 ， C， D（1）若 E， F分别为 1A， B的中点，求证： EF平面 1AB；（2）若 160， 与平面 D所成角的正弦值为 5，求二面角 1A的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 78【解析】 （1）连接 1AB，四边形 1AB为菱形， 1AB平面 平面 CD，平面 I平面 CD， 平面 ABCD，ABC， 平面 1A又 1B平面 1A， 1B 1 ， C ， A平面 1C ,EF分别为 1， 的
2、中点， 1EF ， 平面 （2）设 1Ba，由（1）得 1B平面 ，由 60A， 2，得 23A， 21Ca过点 1C作 MD，与 的延长线交于点 M，取 AB的中点 H，连接 1A， M，如图所示，2又 160AB， 1AB 为等边三角形， 1AHB，又平面 平面 CD，平面 平面 CD， 1AH平面 1BA，故 1H平面 BC为平行四边形， 1B ， 1 平面 1B又 DA ， 平面 A 1I，平面 1 平面 1DCM由（1） ，得 BC平面 B， 平面 ， 1BCM DI， 1M平面 A， 1A是 与平面 AD所成角 1A ， ， 1 平面 D， 平面 ， 1BCI，平面 D 平面 1A
3、B 13AHM， 11235sinMCa，解得 3a在梯形 BC中，易证 EAB，分别以 uv， D， 1uv的正方向为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系则 1,0A， ,30， ,3， 12,03， 1,0B， 1,30C，由 ,Bv，及 1BCv，得 ,， 13,Cu， ,30ADu， 1,03Auv设平面 1A的一个法向量为 1,xyzm，由 1 CDm得 1130 xyz，3令 1y，得 3,12m设平面 1AC的一个法向量为 2,xyzn，由 10 ACuvn得 22330 xyz，令 2z，得 3,21n 7cos, 83141 m，又二面角 1ACD是钝角，二面角
4、1ACD的余弦值是 782线段上的动点问题例 2：如图，在 ABCY中， 30， 3A， 2B，沿 将 ABD 翻折到ABD的位置，使平面 平面 （1）求证： 平面 BD；（2）若在线段 AC上有一点 M满足 ACuv，且二面角 MBDC的大小为 60，求 的值【答案】 （1）见解析；（2） 312【解析】 （1） ABD 中，由余弦定理，可得 1BD 22ADB， 90， 90C作 FA于点 ，平面 平面 ，平面 I平面 ， F平面 C CB平面 A， B又 D， FI， 平面 ADB又 平面 ， C又 AB， BI， 平面 C4（2）由（1）知 DA， B， 两两垂直，以 D为原点，以 A
5、uv方向为 x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 xyz，则 0,1B， 3,10C， ,3A设 ,Mxyz，则由 3xAMyzuv ,3，设平面 DB的一个法向量为 ,abcm，则由 0 Muvm 330b，取 11,0ac平面 CBD的一个法向量可取 0,3DAuv， 223os,21DAuvm132 0,1， 13翻折类问题例 3：如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD中， P为 中点，分别将 PAD ， BC 沿PA， B所在直线折叠，使点 与点 重合于点 O，如图 2在三棱锥 O中， E为中点（1）求证： OA；（2）求直线 BP与平面 所成角的正弦值；（3）求二面角 E的大小5
6、【答案】 （1）见解析；（2） 15；（3） 【解析】 （1）在正方形 ABCD中， P为 中点， PDA， CB，在三棱锥 PO中， ， OB ABI， 平面 A 平面 ， PB（2）取 AB中点 F，连接 O，取 A中点 M，连接 B过点 O作 的平行线 G P平面 ， P， G AB， F为 A的中点， FAB O如图所示，建立空间直角坐标系 xyz1,30A， 1,30B， ,1P， 3,02M O， M为 A的中点， BOA6 PO平面 AB， PO平面 A，平面 PO平面 AB平面 I平面 ， BM平面 ， M平面 3,02uv平面 POA的法向量 1,，m 1,3BPuv设直线
7、B与平面 所成角为 ，则 15sinco,BPuvm直线 P与平面 A所成角的正弦值为 15（3）由（2）知 13,2E， 13,2OEuv， 1,30OAuv设平面 OA的法向量为 n，则有 0 Avn即 30xyz，令 1y，则 3x， 2z即 3,12 21cos,4mn由题知二面角 PAOE为锐角， 它的大小为 对点增分集训一、单选题1如图，在所有棱长均为 a的直三棱柱 1ABC中， D， E分别为 1B， AC的中点，则异面直线 AD， CE所成角的余弦值为（ ）7A 12B 32C 15D 45【答案】C【解析】设 的中点 O，以 uv， ， OEuv为 x， y， z轴建立坐标系
8、，则 0,2aA， 3,02aD， ,0C， ,a，则 ,uv， ,Euv，设 AD与 CE成的角为 ，则 22301cos 544a，故选 C2在三棱柱 1BA中，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱 1A底面 B，点在棱 1上，且 D，若 与平面 1C所成的角为 ，则 sin的值是（ ）A 32B 2C 104D 64【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点 31,2D平面 1AC的一个法向量是 1,0n，362cos,4ADuvn，则 6sin4故选 D3如图，圆锥的底面直径 2AB，高 2OC， 为底面圆周上的一点，8120AOD，则空间中两条直线 AD与 BC所成的角为（ ）
9、A 30B 60C 75D 90【答案】B【解析】取 中点 E，以 O为原点， E为 x轴， OB为 y轴， C为 z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，圆锥的底面直径 2AB，高 2OC， D为底面圆周上的一点， 120AOD，可得 0,1， 0,， ,0， 31,02，则 3,2ADuv， ,12BCuv，设空间两条直线 与 所成的角为 ，312cosADBCuv， 60，即直线 AD与 BC所成的角为 60，故选 B4已知四棱锥 P的底面 是边长为 2 的正方形， 5PA，平面ABC平面 ， M是 的中点， O是 AD的中点，则直线 M与平面 CO所成角的正弦值是（ ）9A 5B 25C
10、85D 85【答案】D【解析】由题可知 0,O， ,02P， 1,0B， 1,20，则 0,2Puv， 1,Cuv， M是 的中点， ,2M， 3,12Buv设平面 PCO的法向量 ,xyzn，直线 与平面 PCO所成角为 ，则 20 zxuvn可取 2,10，485sinco17BMuv， n，故选 D5如图，在直三棱柱 1ABC中， 90BAC， 12AC，点 G与 E分别是 1AB和 1的中点，点 D与 F分别是 和 上的动点若 DF，则线段 长度的最小值为（ ）10A 25B 35C 5D 2【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ()0,， (),21E， (),02G，
11、 0(),Fx， (,)Dy，则 1,2GDyuv， ,21EFxuv，由于 ， 0xy ， 2xy，故 22 224585()DFxy，当 45时，线段 F长度取得最小值，且最小值为 故选 A6如图，点 ABC、 、 分别在空间直角坐标系 Oxyz的三条坐标轴上， 0,2OCuv，平面 的法向量为 2,1n，设二面角 CAB的大小为 ，则 cos（ ）11A 43B 53C 23D 23【答案】C【解析】由题意可知，平面 AO的一个法向量为： 0,2Ouv，由空间向量的结论可得： 42cos3Cuvn故选 C7如图所示，五面体 ABDE中，正 AB 的边长为 1， AE平面 B， CDAE
12、，且12CDE设 与平面 所成的角为 ， (0)k，若 ,64，则当 k取最大值时，平面 BE与平面 AC所成角的正切值为（ ）A 2B1 C 2D 3【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 0,1A， ,02kD， ,1Ek， 31,02B，12取 AB的中点 M，则 304， ， ，则平面 ABE的一个法向量为 3,04CMuv，由题意 2sin1CEkuv，又由 ,64， 23sin2，解得 2k， k的最大值为 2，当 2k时，设平面 BDE的法向量为 ,xyz，则0 3122EyzBxuvn，取 ,n，由平面 ABC的法向量为 0,1m，设平面 DE和
13、平面 所成的角为 ，则 3cosmn， 6sin3， tan2，故选 C8已知三棱柱 1ABC的侧棱与底面边长都相等， 1A在底面 B内的射影为的中心，则 1与底面 所成角的正弦值等于（ ）A 3B 23C 3D 23【答案】B【解析】如图，设 1A在平面 BC内的射影为 O，以 为坐标原点， OA、 1分别为 x轴、z轴建立空间直角坐标系如图13设 ABC 边长为 1，则 3,0A， 136,2B， 1536,2uv又平面 C的法向量为 0,1n设 1AB与底面 C所成角为 ，则 112sinco,3ABuv故直线 1与底面 AB所成角的正弦值为 23故选 B9如图，四棱锥 PD中， P平面
14、 ACD，底面 为直角梯形， ADBC ，ABC， 3，点 E在棱 上，且 2PEA，则平面 E与平面ED的夹角的余弦值为（ ）A 23B 6C 3D 63【答案】B【解析】以 为坐标原点，以 、 A、 BP所在直线为 x、 y、 z轴，建立空间直角坐标系，则 0,B， ,30A， ,3P， ,0D， ,21E， 0,21Buv， 3,0Duv设平面 ED的一个法向量为 ,xyzn，则 3yzxuvn，14取 1z，得 1,2n，平面 ABE的法向量为 1,0m， 6cos,12m 平面 与平面 D的夹角的余弦值为 6故选 B10在正方体 1ABCD中，直线 1BC与平面 1A所成角的余弦值为
15、（ ）A 4B 23C 3D 32【答案】C【解析】分别以 DA， C， 1为 x， y， z轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为 1，可得 0,D， 1,0B， 1,C， 1,0A， 1,0BCur， ,Aur， ,ur，设 ,xyzn是平面 1B的一个法向量， 10 DBvn，即 0 xzy，取 1，得 ，平面 1A的一个法向量为 ,1，设直线 1BC与平面 1D所成角为 ， 1126sinco, 3BCurrn； 23cosin，即直线 1BC与平面 1AD所成角的余弦值是 故选 C11已知四边形 ABC， 2， 2，现将 ABD 沿 折起，使二面角15ABDC的大小在 5,6
16、内，则直线 AB与 CD所成角的余弦值取值范围是（ ）A 520,8B 20,8C 25018， ， D 25,8【答案】A【解析】取 D中点 O，连结 A， ， 2B 2BC， COBD， A，且 1CO， 3A， AC是二面角 的平面角，以 O为原点， 为 x轴， 为 y轴，过点 作平面 BD的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，()0,1， (),0， (),10，设二面角 ABDC的平面角为 ，则 5,6，连 O、 ，则 ， 3cos,0inA， 3cos,1inBAur， 1,ur，设 AB、 CD的夹角为 ，则13coscos2ABCDur， 5,6， 3s,2，故 13cos0,，
17、 5cos0,8故选 A1612正方体 1ABCD中，点 P在 1AC上运动（包括端点） ，则 BP与 所成角的取1值范围是（ ）A ,43B ,42C ,62D ,63【答案】D【解析】以点 为原点， DA、 、 1所在直线分别为 xyz、 、 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，点 P坐标为 ,x，则 ,BPxuv， 1,0BCuv，设 、 1的夹角为 ，则 22111cos 3BPCxxvu，当 3x时， cos取最大值 32， 6当 1时， 取最小值 1， 1BCAD ， P与 1A所成角的取值范围是 ,63故选 D二、填空题13如图，在直三棱柱 1ABC中， 12ABC， 3A
18、， m是 AC的中点，则异面直线 1与 M所成角的余弦值为_【答案】 142817【解析】在直三棱柱 1ABC中， 12ABC， 3A， M是 AC的中点， BM， 43以 为原点， 为 x轴， M为 y轴，过 作 的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，则 3,0C， 1,2B， 13,02C， ,0M， 1,uv， ,Muv，设异面直线 1B与 所成角为 ，则 114cos287CBuv异面直线 1C与 所成角的余弦值为 42814已知四棱锥 PAD的底面是菱形， 60BAD， P平面 ABCD，且 PAB，点 E是棱 的中点， F在棱 C上，若 :1:PF，则直线 EF与平面 所成角的正弦值
19、为_【答案】 435【解析】以 D点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，设菱形 ABCD的边长为 2，则 0,， 31,02E， 24,3F， 374,26EFuv，18平面 ABCD的一个法向量为 0,1n，则 2244353cos, 76EFuvn，即直线 与平面 ABCD所成角的正弦值为 43515设 a， b是直线， ， 是平面， a， b，向量 1a在 上，向量 1b在 上，1,， 13,(0)4，则 ， 所成二面角中较小的一个的余弦值为_【答案】 5【解析】由题意， 1,a， 13,(0)4b， 11340cos, 5ba， ， ，向量 1a在 上，向量 1b在 上， ， 所成
20、二面角中较小的一个余弦值为 35，故答案为 31516在四棱锥 PABCD中，底面 AB为平行四边形， PA平面 BCD， 2A，3AD， 120， x，则当 变化时，直线 与平面 所成角的取值范围是_【答案】 0,6【解析】如图建立空间直角坐标系，得 0,2B， 3,2,0C， 3,02D，0,Px，设平面 PBC的法向量 ,xyzm， 3,02BCuv， ,2PBxuv，19 0 BCPuvm，得 231,x，又 3,2Dx， 223cos,14PDxuvm， 22231sin36144xx ， sin0,，则 0,6三、解答题17如图所示：四棱锥 PABCD，底面 为四边形， ACBD，
21、 ，PBD，平面 平面 ， 23， 30P， 4，（1）求证： PA平面 BCD；（2）若四边形 中， 120A， BC是否在 P上存在一点 M，使得直线BM与平面20所成的角的正弦值为 3578，若存在，求 PMC的值，若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）存在， 1【解析】 （1）设 ACBDOI，连接BQ， 为 中点又 P，平面 A平面 B，平面 PACI平面 BDPOBD平面 C，而 平面 在 P 中，由余弦定理得 22cos30AC，2 31644A，而 2PCPBDPAO平面 BCD（2）过 作 垂线记为 y轴， 为 x轴， AP为 z轴建立空间直角坐标系：0,A， ,
22、02P， 3,0B， 3,02D， 3,0C3,Buv， ,uv，设 PMuvuv2,1M， 32,1B设平面 PBD法向量为 ,xyzn，213200 zPByDxuvn，取 2,3n，设 M与平面 所成角为 ， 2363 1157sinco 894Buv，解 1， PMC18如图，在斜三棱柱 1ABC中，底面 AB是边长为 2 的正三角形， 13B，10AB， 160（1）求证：平面 ABC平面 1B；（2）求二面角 1的正弦值【答案】 （1）见解析；（2） 473【解析】 （1）取 BC的中点 O，连接 A， 1B，底面 A是边长为 2 的正三角形， C，且 3OA， 13， 160，
23、1， 2211cos607， 7OB，又 B， 0OAB， 1A，又 1CI， 平面 1C，又 OA平面 BC，平面 C平面 22（2）如图所示，以点 O为坐标原点， C为 x轴， OA为 y轴， H为 z轴建立空间直角坐标系，其中2BH，则 0,3A， 1,0B， ,0， 13,2B， 1,2uv， ,Auv， ,0ACuv，设 11,xyzn为平面 1B的法向量，则 10 ABuv，即 1130 22xyz，令 1y，得 13,n；设 22,xyzn为平面 1ABC的法向量，则 210 ACBuvn，即2220 3xyz，令 21y，得 213,n； 1212315cos 3779,n，二面角 1BAC的正弦值为 5437
