1、1培优点七 解三角形1解三角形中的要素例 1： ABC 的内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 2，6b， 0o，则 _【答案】 3【解析】 （1）由已知 B， b， c求 C可联想到使用正弦定理：sinisinibcBC，代入可解得：1s2由 cb可得： 60Bo，所以 30Co2恒等式背景例 2：已知 a， b， c分别为 AC 三个内角 ， ， 的对边，且有 cos3in0C（1）求 A；（2）若 a，且 B 的面积为 3，求 b， c【答案】 （1） 3；（2）2，2【解析】 （1） cosin0aCbcsin3isiABCcssnAsioinsicoicsi0CAC，
2、即13incs12i1sin662 6A或56（舍） ， 3A；（2）1sin342ABCSbcbc，2oa，22248bcbc，可解得2bc对点增分集训一、单选题1在 ABC 中， 1a， 6A， 4B，则 c（ ）A62B2C62D2【答案】A【解析】由正弦定理 sinabAB可得1sini42s6aA，且coscosin4C，由余弦定理可得：2 62s12abC故选A2在 BC 中，三边长 7AB， 5， 6A，则 BCuv等于（ ）A19 B 19C18 D 18【答案】B【解析】三边长 7A， 5， 6A，22219cos 3CB，cos75Auv故选 B3在 C 中，角 A， ，
3、C所对应的边分别是 a， b， c，若 2cosaB，则三角形一定是（ ）A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形3【答案】C【解析】 2cosaB，由正弦定理 2sincRC， 2sinaA， si2incosCAB， A， ， 为 AC 的内角， iB， ， 0,， sin2sinco， sicosin2sicoA，整理得 sin0， 0B，即 故 B 一定是等腰三角形故选 C4 AC 的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 3， 7c， 3ba，则的面积为（ ）A34B234C 2D234【答案】A【解析】已知 3C， 7c， 3ba，由余弦定理 22osa
4、C，可得： 2227937abaa，解得： 1， 3b，13in14ABSabV故选 A5在 ABC 中，内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c，若 2abc，sin23si，则 （ ）A 0B 60C 120D 150【答案】A【解析】根据正弦定理由 sin23siCB得： 3cb， 所以 23abcb，即 27a，则22213cos4aA，又 0,，所以 6故选 A6设 BC 的三个内角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，如果3abcabc，且 3a，那么 B 外接圆的半径为（ ）4A1 B 2C2 D4【答案】A【解析】因为 3abcabc，所以 23cabc，化为 22
5、cab，所以221cos，又因为 0,A，所以A，由正弦定理可得32sinaR，所以 1R，故选 A7在 ABC 中，角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 22abc，若2sinsin，则 的形状是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为 2sinsinBCA，所以2bcaR，也就是 2abc，所以 c，从而 ，故 ， A 为等边三角形故选 C8 BC 的内角 ， B， 的对边分别是 a， b， c且满足 oscaBbA，则是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理 sinisinab
6、cA化简已知的等式得：sincosicABC，即 iBC， ， ， 为三角形的内角， ，即 2A，则 C 为直角三角形，故选 B9在 AB 中，内角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c，已知 ABC 的面积为 315，2bc，1os4，则 a的值为（ ）5A8 B16 C32 D64【答案】A【解析】因为 0A，所以215sin1cos4A，又115sin328ABCSbcbcV， 2bc，解方程组24bc得 6， 4c，由余弦定理得2 1os64aA，所以 8a故选 A10在 ABC 中， ， b， c分别为角 ， B， C所对的边若 sinco0bC，则 （ ）A 4B 3C34D2
7、3【答案】C【解析】 sinisincosinACA， ico0ba，可得： iicos0B ， sincsinsisincACAC， csinsi0AC， 0， o， ta1， 2，34故答案为 C11在 ABC 中，内角 ， B， 的对边分别是 a， b， c，若 oscosabABC，则是（ ）A直角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形【答案】D【解析】 coscosabA，由正弦定理得： 2sinaRA， 2sinbRB，2incRC代入，得sicsB，进而可得 tanttaABC， A，则 A 是等边三角形故选 D12在 C 中，角 ， ， C所对的边分别为 ， b，
8、 c，已知 23a， 2c，6tan21AcBb，则 C（ ）A 6B 4C 4或3D 3【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sinco2sin1ABC，去分母移项得： sincosic2sincoBABA，所以 si2AC，所以1co由同角三角函数得3sin2A，由正弦定理 siniacAC，解得si所以 4C或3（舍） 故选 B二、填空题13在 ABC 中，角 ， B， C的对边分别为 a， b， c， 2， 216ba，则角的最大值为_；【答案】 6【解析】在 ABC 中，由角 的余弦定理可知 222 23cos 4baaabcbC，又因为 0，所以 max6C
9、当且仅当 a， 26时等号成立14已知 AB 的三边 ， b， c成等比数列， ， b， c所对的角分别为 A， B， C，则 sinco的取值范围是_【答案】 12，【解析】 ABC 的三边 a， b， c成等比数列，7 22cos2cosacbaBaB，得1s2，又 0B，03，7412，可得sinco2sinB，故答案为 2， 15在 ABC 中三个内角 A， ， C，所对的边分别是 a， b， c，若2sinco2sincob，且 23a，则 AB 面积的最大值是_【答案】 3【解析】 2sinco2sincobCAC， cosiii2sinAAB，则2sinbB，结合正弦定理得23c
10、osinsia，即 ta3A，2由余弦定理得221cosbaA，化简得 212bcbc，故 4b，13in42ABCS，故答案为 316在锐角 中，角 ， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 A， B， C成等差数列， 3，则 ABC 面积的取值范围是_【答案】 24，【解析】 ABC 中 ， ， 成等差数列， 3B由正弦定理得32sinisiniacbACB， sinaA， 2sincC，13sisi3i24ABCSacacA82313331cos2sincosinsicosinsi224AAAA sissi446， ABC 为锐角三角形，023A，解得 62A5266，1sin21
11、6，33sin4A，故 ABC 面积的取值范围是324，三、解答题17己知 a， b， c分别为 ABC 三个内角 ， B， C的对边，且3cos2inaAC（1）求角 A的大小；（2）若 5c，且 的面积为 3，求 a的值【答案】 （1）23；（2） 1【解析】 （1）由正弦定理得，3sinco2iAC， sin0C， 3sinco2，即si16 A 6，A，23（2）由 3BCS 可得1sin32Sbc 4bc， 5bc，由余弦定理得： 22os1aAcb， 1a18如图，在 ABC 中，点 D在 B边上， 60ADC， 27B， 4D9（1）求 ABD 的面积（2）若 120Co，求 A的长【答案】 （1） 3；（2） 7【解析】 （1）由题意， 120BD在 ABD 中，由余弦定理可得 2cos120ADBA即 28164或 6（舍） ， AB 的面积113sin42SBA（2）在 D 中，由正弦定理得 siiDAB，代入得21sin4B，由 为锐角，故57co14，所以2sii60sin60s60in7CB，在 AD 中，由正弦定理得 siiADC，2137，解得 7C
