1、二次函数与几何图形综合题满分训练类型 1 二次函数与图形判定1.（2017陕西中考）在同一平面直角坐标系中，抛物线 C1：y=ax 2-2x-3 与抛物线C2：y=x 2+mx+n 关于 y 轴对称，C 2与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧。（1）求抛物线 C1，C 2的函数解析式；（2）求 A，B 两点的坐标；（3）在抛物线 C1上是否存在一点 P，在抛物线 C2上是否存在一点 Q， 使得以 AB 为边，且以 A，B，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由。2.如图，抛物线 C1:y=x2+bx+c 经过原点，与
2、 x 轴的另一个交点为（2,0） ，将抛物线 C1向右平移 m(m0)个单位得到抛物线 C2,C2与 x 轴交于 A，B(点 A 在点 B 的左边)，交 y 轴于点C。（1）求抛物线 C1的解析式及顶点坐标；（2）以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ACD,当点 D 落在抛物线 C2的对称轴上时，求抛物线 C2的解析式；（3）若抛物 线 C2的对称轴上存在点 P，使PAC 为等边三角形，请直接写出 m 的值。3.如图，抛物线 y=ax2+bx-2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 A（3,0） ，且 M是抛物线上另一点。81,3（1）求 a，b 的值；（2）连接 A
3、C,设点 P 是 y 轴上任意一点，若以 P，A，C 为顶点的三角形为等腰三角形，求P 点坐标。4.（2018甘肃中考节选）如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图像经过点 C（0，3） ，与x 轴分别交于点 A，点 B（3，0） 。点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点。（1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的解析式；（2）连接 PO，PC，并把POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POPC。若四边形 POPC 为菱形，请求出此时点 P 的坐标。5.（2018某铁一 中摸拟）在平面直角坐标系中，抛物线 C1y=- x2+3 与 x 轴交于 A,B两点，其中点 A 在点 B 的左侧，
4、抛物线 C1的顶点为 M。设 D（n,0）是 x 轴上的一点，且点D 位于点 A 的右侧，将抛物线 C1绕点 D 旋转 180，得到抛物线 C2，设抛物线 C2的顶点为M。（1）直接写出 A,B,M 三点的坐标；（2）当抛物线 C2经过原点时，求 n 的值；（3）设点 Q 是第四象限内抛物线 C1上一点，点 P 是抛物线 C2上的动点，是否存在四边形MQMP 为正方形的情形？若存在 ，请求出此时 n 的值；若不存在，请说明理由。类型 2 二次函数与相似三角形（全等三角形）6.如图，已知抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。（1）求抛物线的解析式；（2）连
5、接 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。7.（2018 某高新一中模拟）已知抛物线 C1：y=ax 2+bx+c（a0）经过 A（-1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点，D 为 OC 中点。（1）求抛物线 C1的函数表达式。（2）将抛物线 C1向左或向右平移 m（m0）个单位，平移后的抛物线为 C2，C 2的对称轴为l，顶点为 P，C 2与 y 轴交于点 E，P 点在 y 轴右侧，过点 E 作 l 的垂线交 l 于点 F，是否存在这样的 m，使得ODB 与PEF 相似？若存在求出 m 的值；若不
6、存在，请说明理由。8.（2 018某交大附中模拟）抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过点 A（-1，0）,B ，3,02且与 y 轴交于点 C。（1）求这条抛物线的表达式；（2）求ACB 的度数；（3）设点 D 为所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点 E 在线段 AC 上，且DEAC,当DCE 与AOC 相似时，求点 D 的坐标。9.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，D 为 OC 的中点，直线 AD 交抛物线于点 E（2，6） ，且ABE 与ABC 的面积之比为 32。（1）求直线 AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对
7、称轴与 x 轴相交于点 F，点 Q 为直线 AD 上一点，且ABQ 与ADF 相似，求出点 Q 的坐标。类型 3 二次函数与图形面积10.如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过 A(-1,0),B(4,0),交 y 轴于点 C。（1）求此抛物线的解析式（用一般式表示） 。（2）点 D 是 y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点 D 使 SABC = SABD ?若存在，请求出点 D23的坐标，若不存在，请说明理由。11.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0，2） ，对称轴为直线 x=-2，平行于 x 轴的直线与抛物线交于 B，C 两点，点 B 在对称轴左侧，BC=6。（1）
8、求此抛物线的解析式。（2）点 P 在 x 轴上，直线 CP 将ABC 面积分成 23 两部分，请直接写出 P 点坐标。12.（2018上海中考）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=- x2+bx+c 经过1点 A（-1，0）和点 B（0， ） ，顶点为 C，点 D 在其对 称轴上且位于点 C 下方，将线段 DC52绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处。（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段 CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M在 y 轴上，且以 O，D，E，M 为顶点的四边
9、形面积为 8，求点 M 的坐标。13.（2018成都中考节选）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以直线 x= 为对称轴的抛52物线 y=ax2+bx+c（a0）与直线 l：y=kx+m（k0）交于 A（1，1） ，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，5） ，直线 l 与 y 轴交于点 D。（1）求抛物线的解析式。（2）设直线 l 与抛物线的对称轴的交点为 F，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且BCG 与BCD 面积相等，求点 G 的坐标。34AFB类型 4 二次函数与图形变换14.在平面直角坐标系中，抛物线 C:y=-3x2+bx+c 的顶点为 M，与 x 轴交于 A(1,0)，B(
10、3,0)两点。(1)求抛物线 C 的表达式。（2）若抛物线 C 绕 x 轴上一点旋转 180得到抛物线 C,抛物线 C的顶点记为 M, 点A，B 旋转后的对应点分别为 A，B,是否存在矩形 BMBM?若存在，求出矩形BMBM 的面积，若不存在，请说明理由。15.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1:y=ax2+bx+2 过 B（-2，6） ，C（2，2）两点。（1）试求抛物线 C1的表达式；（2）记抛物线 C1的顶点为 D，求BCD 的面积；（3）把抛物线 C1先向下平移 m 个单位长度，得到抛物线 C2，再以 x 轴为对称轴作抛物线C2的轴对称图形 C3，如果抛物线 C3与原抛物线 C
11、1只有一个交点，求 m 的值以及抛物线 C3的表达式。16.已知点 A（-1，n） （n0）和点 B（2，3）在抛物线 y1=x2+bx+c 上，点 C（1，0）是 x轴上一点，且 CA+CB 的值最小。（1）求抛物线 y1的表达式。（2）左右平移抛物线 y1=ax2+bx+c，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 E（-1，0）和点 F（-3，0）是 x 轴上的两个定点，问：是否存在某个位 置，使四边形ABEF 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的表达式；若不存在，请说明理由。类型 5 二次函数与线段最值、面积最值问题17.（2018广西南宁中考）如图，抛物线 y=ax
12、2-5ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，其中 A（-3，0） ，C （0，4） ，点 B 在 x 轴上，AC=BC，过点 B 作 BDx 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是线段 CO，BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN，AM，AN。（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标。（2）当CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标。（3）试求出 AM+AN 的最小值。18.（2018四川遂宁中考节选）如图，已知抛物线 y=ax2+ x+4 的对称轴是直线 x=3，且3与 x 轴相交于 A，B 两点（点 B 在点 A 右侧）与 y 轴交于点 C。（1）求抛物线的解折式和 A，B 两点的坐标；（2）若点 P 是抛物线上 B，C 两点之间的一个动点（不与点 B，C 重合） ，则是否存在一点P，使PBC 的面积最大。若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由。参考答案
