1、- 1 -第 3 章 数系的扩充与复数的引入章末检测一、填空题1 z1( m2 m1)( m2 m4)i， mR， z232i，则“ m1”是“ z1 z2”的_条件答案 充分不必要解析 因为 z1 z2，所以Error!解得 m1 或 m2，所以 m1 是 z1 z2的充分不必要条件2i 是虚数单位，复数 的共轭复数为_3 i1 i答案 12i解析 12i，其共轭复数为 12i.3 i1 i (3 i)(1 i)(1 i)(1 i) 2 4i23已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a_.a i1 i答案 1解析 是纯虚数，则 a10， a10，解得 a1.a i1 i (a i)(1 i)(1
2、 i)(1 i) (a 1) (a 1)i24若( xi)i y2i， x， yR，则复数 x yi_.答案 2i解析 ( xi)i y2i， xii 2 y2i， y1， x2， x yi2i.5在复平面内， O 是原点， ， ， 对应的复数分别为2i，32i,15i，那么 对应OA OC AB BC 的复数为_答案 44i解析 因为 ， ， 对应的复数分别为2i,32i,15i， ( )，OA OC AB BC OC OB OC OA AB 所以 对应的复数为 32i(2i)(15i)44i.BC 6(1i) 20(1i) 20的值是_答案 0- 2 -解析 (1i) 20(1i) 20(
3、1i) 210(1i) 210(2i) 10(2i) 10(2i) 10(2i)100.7若复数 z 满足(34i) z|43i|，则 z 的虚部为_答案 45解析 因为复数 z 满足(34i) z|43i|，所以 z i，|4 3i|3 4i 53 4i 5(3 4i)25 35 45故 z 的虚部等于 .458设 x34i，则复数 z x| x|(1i)在复平面上的对应点在第_象限答案 二解析 x34i，| x| 5，32 42 z34i5(1i)(351)(41)i35i.复数 z 在复平面上的对应点在第二象限9若复数 z 满足 iz24i，则在复平面内， z 对应的点的坐标是_答案 (
4、4，2)解析 z 42i 对应的点的坐标是(4，2)2 4ii10已知 f(n)i ni n(nN *)，则集合 f(n)的元素个数是_答案 3解析 f(n)有三个值 0,2i，2i.11复平面内，若 z m2(1i) m(4i)6i 所对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是_答案 (3,4)解析 z m24 m( m2 m6)i 所对应的点在第二象限，Error!，解得 31i；虚轴上的点表示的数都是纯虚数；若一个数是实数，则其虚部不存在；- 3 -若 z ，则 z31 对应的点在复平面内的第一象限1i答案 解析 由 y CR，知 y 是虚数，则Error!不成立，故错误；两个不全为实
5、数的复数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数 0，故错误；实数的虚部为 0，故错误；中 z31 1i1，对应点在第一象限，故正确1i314下列是关于复数的类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由实数绝对值的性质| x|2 x2类比得到复数 z 的性质| z|2 z2；已知 a， bR，若 a b0，则 a b 类比得已知 z1， z2C，若 z1 z20，则 z1 z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义其中推理结论正确的是_答案 二、解答题15设复数 zlg( m22 m2)( m23 m2)i，当 m 为何值时，(1)z 是实数？(2) z 是
6、纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需满足Error!，解得 m2 或1.即当 m2 或1 时， z 是实数(2)要使复数 z 为纯虚数，需满足Error!，解得 m3.即当 m3 时， z 是纯虚数16已知复数 z 满足| z| ， z2的虚部为 2.2(1)求复数 z；(2)设 z， z2， z z2在复平面内对应的点分别为 A， B， C，求 ABC 的面积解 (1)设 z a bi(a， bR)，由已知条件得 a2 b22， z2 a2 b22 abi. z2的虚部为 2，2 ab2. a b1 或 a b1，即 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时， z2(1i) 22i，
7、z z21i，点 A(1,1)， B(0,2)， C(1，1)， S ABC AC1 211.12 12当 z1i 时， z2(1i) 22i， z z213i.点 A(1，1)， B(0,2)， C(1，3)，- 4 - S ABC AC1 211.12 12 ABC 的面积为 1.17设复数 z ，若 z2 az b1i，求实数 a， b 的值(1 i)2 3(1 i)2 i解 z (1 i)2 3(1 i)2 i 2i 3(1 i)2 i 3 i2 i 1i.(3 i)(2 i)(2 i)(2 i)将 z1i 代入 z2 az b1i，得(1i) 2 a(1i) b1i，即( a b)(
8、 a2)i1i，Error!Error!18已知复数 z(2 x a)(2 x a)i， x， aR，且 a 为常数，试求| z|的最小值 g(a)的表达式解 | z|2(2 x a)2(2 x a)22 2x2 2 x2 a(2x2 x)2 a2.令 t2 x2 x，则 t2，且 22x2 2 x t22.从而| z|2 t22 at2 a22( t a)2 a22.当 a2，即 a2 时， g(a) ；a2 2当 a2 时， g(a) (a 2)2 a2 2 |a1|.2综上可知， g(a)Error!19已知 z022i，| z z0| .2(1)求复数 z 在复平面内的对应点的轨迹；(
9、2)求 z 为何值时| z|有最小值，并求出| z|的最小值解 (1)设 z x yi(x， yR)，由| z z0| 得：2|x yi(22i)|( x2)( y2)i| ，2解得：( x2) 2( y2) 22.复数 z 对应点的轨迹为以 Z0(2,2)为圆心， 为半径的圆2- 5 -(2)当 Z 点在 OZ0的连线上时，| z|有最大值或最小值 OZ02 ，半径为 .2 2当 z1i 时，| z|min .220设存在复数 z 同时满足下列条件：(1)复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z 2i z8 ai(aR)z试求 a 的取值范围解 设复数 z x yi(x， yR)，则 x yi.z由(1)知 x0， y0.又由(2) z 2i z8 ai(aR)，得z(x yi)(x yi)2i( x yi)8 ai(aR)，即( x2 y22 y)2 xi8 ai(aR)，所以Error!所以 4(y1) 236 a2.因为 4(y1) 20，所以 36 a20，即 a236，所以6 a6.又因为 a2 x，而 x0，所以 a0，所以6 a0.故所求 a 的取值范围是6,0)
