1、- 1 -3.3 复数的几何意义学习目标 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法知识链接1下列命题中不正确的有_(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数能进行开偶次方根运算；答案 (5)2实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴由复数的定义可知任何一个复数 z a bi(a， bR)，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答 由于复数集与平面直角坐标系中
2、的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型预习导引1复数的几何意义(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数与点、向量间的对应复数 z a bi(a， bR) 复平面内的点 Z(a， b)； 对 应 复数 z a bi(a， bR) 平面向量 O ( a， b) 对 应 Z 2复数的模复数 z a bi(a， bR)对应的向量为 O ，则 O 的模叫做复数 z 的模，记作| z|，且Z Z |z| .a2 b23两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对
3、应的两点间的距离- 2 -要点一 复数与复平面内的点例 1 在复平面内，若复数 z( m22 m8)( m23 m10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线 y x 上，分别求实数 m 的取值范围解 复数 z( m22 m8)( m23 m10)i 的实部为 m22 m8，虚部为 m23 m10.(1)由题意得 m22 m80.解得 m2 或 m4.(2)由题意，得Error!，20，得 m5，所以当 m5 时，复数 z 对应的点在 x 轴上方(2)由( m25 m6)( m22 m15)40，得 m1，或 m ，所以当 m1，或 m 时，52 52
4、复数 z 对应的点在直线 x y40 上要点二 复数的模及其应用例 2 已知复数 z3 ai，且| z| ，| z1|z2|.32 42 ( 12)2 ( 2)2 32 32要点三 复数的模的几何意义例 3 (1)当复数 z1sin icos ， z223i 时，试比较| z1|与| z2|的大小； 3 6(2)求满足条件 2| z|0，1 m10，故对应的点在第四象限3在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A， B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C对应的复数是_答案 24i解析 A(6,5)， B(2,3)， C 为 AB 的中点， C(2,4)，点 C 对应的复数为 24
5、i.4已知复数 z 满足| z|22| z|30，则复数 z 对应点的轨迹是_答案 以原点为圆心，以 3 为半径的圆解析 由题意可知(| z|3)(| z|1)0，即| z|3 或| z|1.| z|0，| z|3.复数 z 对应的轨迹是以原点为圆心，以 3 为半径的圆5已知复数 z a i 在复平面内对应的点位于第二象限，且| z|2，则复数 z 等于3_答案 1 i3解析 因为 z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以 a0，由| z|2 知，2，解得 a1，故 a1，a2 (r(3)2所以 z1 i.36若复数(6 k2)( k24)i( kR)所对应的点在第三象限，则 k 的取值范围是
6、- 6 -_答案 2 k 或 k26 6解析 z 位于第三象限，Error!2 k 或 k2.6 67(1)已知向量 O 与实轴正向的夹角为 45，向量 O 对应的复数 z 的模为 1，求 z；Z Z (2)若 z| z|2，求复数 z.解 (1)设 z a bi(a， bR) O 与 x 轴正向的夹角为 45，| z|1，Z Error!或Error!Error!或Error! z i 或 z i.22 22 22 22(2) z| z|2， z2| z|R，当 z0 时，| z| z， z1，当 z0 时，无解， z1.二、能力提升8在复平面内，复数(2i) 2对应的点位于第_象限答案 四
7、解析 复数(2i) 244ii 234i，复数对应的点为(3，4)，所以在复平面内，复数(2i) 2对应的点位于第四象限9设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 z i22 z，则 z_.z z答案 1i解析 设 z a bi(a， bR)，由 z i22 z，得( a bi)(a bi)i22( a bi)z即( a2 b2)i22 a2 biError!Error!z1i.10已知复数 z1 a2i， z22i，若| z1|z2|，则实数 a 的取值范围是_答案 1 a1解析 依题意有 ，解得1 a1.a2 22 ( 2)2 1211当实数 m 为何值时，复数 z( m28 m1
8、5)( m23 m28)i 在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于 x 轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解 (1)要使点位于第四象限，须Error!，Error!，7 m3.(2)要使点位于 x 轴负半轴上，须Error!，- 7 -Error!， m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须 m23 m280，解得 m4 或 m7.12已知复数 z 对应的向量为 O (O 为坐标原点)， O 与实轴正向的夹角为 120且复数 zZ Z 的模为 2，求复数 z.解 根据题意可画图形如图所示：设点 Z 的坐标为( a， b)，| O | z|2， xOZ120， a1， b ，Z 3即点 Z 的坐标为(1， )或(1， )， z1 i 或 z1 i.3 3 3 3三、探究与拓展13试研究方程 x25| x|60 在复数集上解的个数解 设 x a bi(a， bR)，则原方程可化为a2 b25 62 abi0a2 b2Error!Error!或Error!或Error!即 x2 或 x3 或 xi.故方程在复数集上的解共有 6 个
