1、- 1 -3.2 复数的四则运算学习目标 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算知识链接1复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项2若复数 z1， z2满足 z1 z20，能否认为 z1z2?答 不能，如 2ii0，但 2i 与 i 不能比较大小3复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i2换成1.4 z 与| z|2和| |2有什么关系？z z答 z | z|2| |2.z z预习导引1复数加法与减法的运算法则(1)设
2、 z1 a bi， z2 c di 是任意两个复数，则 z1 z2( a c)( b d)i， z1 z2( a c)( b d)i.(2)对任意 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)2复数的乘法法则：设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则 z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i.3复数乘法的运算律对任意复数 z1、 z2、 z3C，有交换律 z1z2 z2z1结合律(z1z2)z3 z1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(z2 z3) z1z2 z1z34.共轭复数：把实部
3、相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数 z a bi的共轭复数记作 ，即 a bi.z z5复数的除法法则：设 z1 a bi， z2 c di(c di0)，- 2 -则 i.z1z2 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) ac bdc2 d2 bc adc2 d2要点一 复数加减法的运算例 1 计算：(1)(56i)(2i)(34i)；(2)1(ii 2)(12i)(12i)解 (1)原式(523)(614)i11i.(2)原式1(i1)(12i)(12i)(1111)(122)i2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部
4、与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪演练 1 计算：(1)(24i)(34i)；(2)(34i)(2i)(15i)解 (1)原式(23)(44)i5.(2)原式(321)(415)i22i.要点二 复数乘除法的运算例 2 计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i) 2.解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(2)(34i)(34i)3 2(4i) 29(16)25.(3)(1i) 212ii 22i.规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运
5、算，例如平方差公式、完全平方公式等跟踪演练 2 计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i) 2.解 (1)(2i)(2i)4i 24(1)5.(2)(12i) 214i(2i) 214i4i 234i.例 3 计算：(1)(12i)(34i)；(2)( )6 .1 i1 i 2 3i3 2i解 (1)(12i)(34i) 1 2i3 4i (1 2i)(3 4i)(3 4i)(3 4i)- 3 - i. 5 10i25 15 25(2)原式 6(1 i)22 (r(2) r(3)i)(r(3) r(2)i)(r(3)2 (r(2)2i 6 1 i.6 2i 3i 65规律方法 复数的除法先
6、写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)跟踪演练 3 计算：(1) ；(2) .7 i3 4i ( 1 i)(2 i) i解 (1) 1i.7 i3 4i (7 i)(3 4i)(3 4i)(3 4i) 25 25i25(2) 13i.( 1 i)(2 i) i 3 i i ( 3 i)i ii要点三 共轭复数及其应用例 4 已知复数 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi 且| z| 1，即 a2 b21.z a2 b2因为(34i) z(34
7、i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i，而(34i) z 是纯虚数，所以3a4 b0，且 3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z45 35 z 45 35规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点跟踪演练 4 已知复数 z 满足： z 2i z86i，求复数 z 的实部与虚部的和z解 设 z a bi(a， bR)，则 z a2 b2，z a2 b22i( a bi)86i，即 a2 b22 b2 ai86i，Error!解得Error! a b4，复数 z 的实部与虚部的和是 4.1复数 z12 i， z2 2i，
8、则 z1 z2_.12 12答案 i52 52- 4 -解析 z1 z2(2 )( 2)i i.12 12 52 522若 z32i4i，则 z_.答案 13i解析 z4i(32i)13i.3复数 z _.i 21 2i答案 i解析 i.i 21 2i (i 2)(1 2i)(1 2i)(1 2i) 5i54已知复数 z1 ai(aR，i 是虚数单位)， i，则 a_.zz 35 45答案 2解析 由题意可知： 1 ai1 ai (1 ai)2(1 ai)(1 ai) 1 2ai a21 a2 i i，因此 ，化简得 5a253 a23， a24，则1 a21 a2 2a1 a2 35 45
9、1 a21 a2 35a2，由 可知 a0，仅有 a2 满足，故 a2.2a1 a2 451.复数的四则运算：(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想：复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z a bi(a， bR)，利用复数相等的充要条件转化一、基础达标1已知复数 z 满足(34i) z25，则 z_.答案 34i解析 方法一
10、由(34i) z25，- 5 -得 z 34i.253 4i 25(3 4i)(3 4i)(3 4i)方法二 设 z a bi(a， bR)，则(34i)( a bi)25，即 3a4 b(4 a3 b)i25，所以Error!解得Error!故 z34i.2已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i答案 2i解析 设 z bi(bR， b0)，则 z 21 i bi 21 i (bi 2)(1 i)(1 i)(1 i) 2 b (b 2)i2 2 b2i 是实数，所以 b20， b2，所以 z2i.b 223. 的值等于_5 i1 i答案 23i486i 的平方根是_答案 (3i
11、)解析 方法一 设 86i 的平方根是 x yi(x， yR)，则( x yi)286i，即 x2 y22 xyi86i.由复数相等，得Error!Error!或Error!方法二 86i96ii 2(3i) 2，86i 的平方根是(3i)5若复数 z1 z234i， z1 z252i，则 z1_.答案 4i解析 两式相加得 2z182i， z14i.6计算：(1)(7i5)(98i)(32i)；(2)( i)(2i)( i)；13 12 43 32(3) .(2 2i)12( 1 r(3)i)9 ( 2r(3) i)100(1 2r(3)i)100解 (1)(7i5)(98i)(32i)7i
12、598i32i(593)(782)i1i.(2)( i)(2i)( i) i2i i13 12 43 32 13 12 43 32( 2 )( 1 )i1i.13 43 12 32(3) (2 2i)12( 1 r(3)i)9 ( 2r(3) i)100(1 2r(3)i)100- 6 - 212(1 i)1229( f(1,2) f(r(3),2)i)9 (i 2r(3)100 i(i 2r(3)100 212(2i)629( f(1,2) f(r(3),2)i)33 (i 2r(3)100( i)100(i 2r(3)100 2 91511.2326i613 1i1007设 mR，复数 z
13、1 ( m15)i， z22 m(m3)i，若 z1 z2是虚数，求 m 的取m2 mm 2值范围解 z1 ( m15)i， z22 m(m3)i，m2 mm 2 z1 z2( 2)( m15) m(m3)im2 mm 2 ( m22 m15)i.m2 m 4m 2 z1 z2为虚数， m22 m150 且 m2，解得 m5， m3 且 m2( mR)二、能力提升8复数 的虚部是_2i 1 3i答案 12解析 原式 i，2i( 1 r(3)i)1 3 23 2i4 32 12虚部为 .129设复数 z 满足( z2i)(2i)5，则 z_.答案 23i解析 由( z2i)(2i)5，得 z2i
14、 2i 2i2i23i.52 i 5(2 i)(2 i)(2 i)10已知 a， bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2 bi 互为共轭复数，则( a bi)2_.答案 34i解析 由题意知 ai2 bi， a2， b1，( a bi)2(2i) 234i.11已知 z1i， a， bR，若 1i，求 a， b 的值z2 az bz2 z 1解 z1i， z22i， z2 az bz2 z 1 2i a ai b2i 1 i 1 (a 2)i (a b)i- 7 - a2( a b)i1i，Error!Error!12已知复数 z 满足 z2512i，求 .1z解 设 z x yi(x， yR
15、)，则 z2 x2 y22 xyi.又 z2512i，所以 x2 y22 xyi512i.所以Error!解得Error! 或Error!所以 z32i 或 z32i.所以 i 或 i.1z 13 2i 313 213 1z 1 3 2i 313 213所以 i 或 i.1z 313 213 1z 313 213三、探究与拓展13已知 1i 是方程 x2 bx c0 的一个根( b， c 为实数)(1)求 b， c 的值；(2)试说明 1i 也是方程的根吗？解 (1)1i 是方程 x2 bx c0 的根，(1i) 2 b(1i) c0，即( b c)(2 b)i0.Error!得Error! b， c 的值为 b2， c2.(2)由(1)得方程为 x22 x20.把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立，1i 也是方程的一个根.
