1、- 1 -习题课 离散型随机变量的方差与标准差学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用1方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量 X 的概率分布为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn方差 V(X)( x1 )2p1( x2 )2p2( xn )2pn.(其中 E(X)标准差为_(2)方差的性质： V(aX b)_.2两个常见分布的方差(1)两点分布：若 X01 分布，则 V(X)_；(2)二项分布：若 X B(n， p)，则 V(X)_.类型一 二项分布的方差问题
2、例 1 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 .13(1)求这位司机遇到红灯数 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待 30 s，求司机总共等待时间 的均值与方差反思与感悟 解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若它服从两点分布，则方差为 p(1 p)；若它服从二项发布，则方差为 np(1 p)跟踪训练 1 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击 10 次，每次一发记分的规则为：击中目标一次得 3 分；未击中目标得 0 分；并且凡参赛的射手一律另加 2 分已知射手小李- 2 -击中目标的概率
3、为 0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差类型二 均值、方差在决策中的应用例 2 某投资公司在 2017 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率为 和 ；79 29项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能亏损 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .35 13 115- 3 -针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由反思与感悟 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取
4、值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中，需先运算- 4 -均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定跟踪训练 2 已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3a， a，0.1，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为 ，乙射中的环数为 .(1)求 ， 的概率分布；(2)求 ， 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术1设一随机试验的结果只有 A 和 ，且 P(A) m，令随
5、机变量 Error!则 的方差 V( )A_.2已知随机变量 X Y8，若 X B(10,0.6)，则 E(Y)， V(Y)分别是_3已知随机变量 的概率分布为- 5 - 0 1 xP 12 13 p若 E( ) ，则 V( )的值为_234有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量 X， Y，已知 E(X) E(Y)， V(X)V(Y)，则自动包装机_的质量较好(填“甲”或“乙”)1已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 y aX b 的均值和方差，可直接用 X 的均值，方差的性质求解，即 E(aX b) aE(X) b， V(aX b) a2V(X)2若能分析出所给随机变量
6、服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算3作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策- 6 -答案精析知识梳理1(1) (2) a2V(X)VX2(1) p(1 p) (2) np(1 p)题型探究例 1 解 (1)易知司机遇上红灯次数 服从二项分布，且 B(6， )，故 E( )6 2，13 13V( )6 (1 ) .13 13 43(2)由已知 30 ，故 E( )30 E( )60， V( )900 V( )1 200.跟踪训练 1 解 用 表示小李击中目标的次数， 表示他的得分，则由题意知
7、 B(10,0.8)， 3 2.因为 E( )100.88， V( )100.80.21.6，所以 E( ) E(3 2)3 E( )238226，V( ) V(3 2)3 2V( )91.614.4.例 2 解 若按项目一投资，设获利 X1万元，则 X1的概率分布如下表：X1 300 150P 79 29 E(X1)300 (150)79 29200.V(X1)(300200) 2 (150200) 2 35 000，79 29若按项目二投资，设获利 X2万元，则 X2的概率分布如下表：X2 500 300 0P 35 13 115- 7 - E(X2)500 (300) 0 200.35
8、13 115V(X2)(500200) 2 (300200) 2 (0200) 2 140 000，35 13 115 E(X1) E(X2)， V(X1) V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资跟踪训练 2 解 (1)依据题意知，0.53 a a0.11，解得 a0.1.乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. ， 的概率分布分别为 10 9 8 7P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)结合(1)中 ， 的概率分布，可得E( )100.590.380.170.19.2，E( )100.390.380.270.28.7，V( )(109.2) 20.5(99.2) 20.3(89.2) 20.1(79.2) 20.10.96，V( )(108.7) 20.3(98.7) 20.3(88.7) 20.2(78.7) 20.21.21. E( )E( )，说明甲平均射中的环数比乙高又 V( )V( )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定甲的射击技术好当堂训练1 m(1 m) 2.2,2.4 3. 4.乙59
