1、- 1 -25.1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg.思考 1 任取 1 个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试问 X 可以取哪些值？思考 2 当 X 取上述值时，对应的概率分别是多少？思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？梳理 离散型随机变量的均值或
2、数学期望一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布如下表：X x1 x2 xnP p1 p2 pn(1)数学期望： E(X) _.(2)性质 pi0， i1,2， n； p1 p2 pn1.(3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的_- 2 -知识点二 两点分布、超几何分布、二项分布的均值1两点分布：若 X01 分布，则 E(X)_.2超几何分布：若 X H(n， M， N)，则 E(X)_.3二项分布：若 X B(n， p)，则 E(X)_.类型一 离散型随机变量的均值命 题 角 度 1 一 般 离 散 型 随 机 变 量 的 均 值例 1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛
3、规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得100 分，假设这名同学回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即 X0)的概率反思与感悟 求随机变量 X 的均值的方法和步骤(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值(2)求出 X 取每个值的概率 P(X k)(3)写出 X 的分布列- 3 -(4)利用均值的定义求 E(X)跟踪训练 1 在有奖摸彩中，一期(发行 10 000 张彩票为一期)有 200 个奖品是 5 元，20 个奖品是 25 元，5 个奖品是 10
4、0 元在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？命 题 角 度 2 二 项 分 布 与 两 点 分 布 的 均 值引申探究在重复 5 次投篮时，命中次数为 Y，随机变量 5 Y2.求 E( )例 2 某运动员投篮命中率为 p0.6.(1)求投篮 1 次命中次数 X 的均值；(2)求重复 5 次投篮，命中次数 Y 的均值反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值设 p 为一次试验中成功的概率，则- 4 -两点分布 E(X) p；二项分布 E(X) np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度(2)两点分布与二项分布辨析相同点：一次试验中要么发生要么不发生不同点：a随机变量的取值不同
5、，两点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2， n.b试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行 n 次试验跟踪训练 2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值命 题 角 度 3 超 几 何 分 布 的 均 值例 3 一个口袋内有 n(n3)个大小相同的球，其中有 3 个红球和( n3)个白球已知从口袋- 5 -中随机
6、取出一个球是红球的概率是 .不放回地从口袋中随机取出 3 个球，求取到白球的个数35 的均值 E( )反思与感悟 (1)超几何分布模型一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品，则 P(X k)， k0,1,2， m，其中 mmin M， n，且 n N， M N， n， M， NN *.CkMCn kN MCnN(2)超几何分布均值的计算公式若一个随机变量 X 的分布列服从超几何分布，则 E(X) .nMN跟踪训练 3 设在 15 个同类型的零件中有 2 个次品，每次任取 1 个，共取 3 次，并且每次取出后不再放回，若以 X 表示取出次品的个数，求均值
7、E(X)- 6 -类型二 均值的应用例 4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果相互独立，第121 局甲当裁判(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的均值反思与感悟 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值跟踪训练 4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5
8、个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球，在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的概率分布和均值- 7 -1现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元，1.18 万元，1.17 万元的概率分别为 ， .随机变量 X 表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则 X 的均值为1612 13_2若 p 为非负实数，随机变量 的概率分布如下表： 0 1 2P p12p12则 E( )
9、的最大值为_3设随机变量 X B(40， p)，且 E(X)16，则 p_.4袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球， 表示所取球的标号(1)求 的概率分布、均值；(2)若 a 4， E( )1，求 a 的值- 8 -1求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定离散型随机变量 X 的取值(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否(3)根据公式写出均值2若 X、 Y 是两个随机变量，且 Y aX b，则 E(Y) aE(X) b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值- 9 -答案精析问题导学知
10、识点一思考 1 X5,6,7.思考 2 P(X5) ，412 13P(X6) ， P(X7) .312 14 512思考 3 5 6 7 .54 63 7512 13 14 512 7312梳理 (1) x1p1 x2p2 xnpn(3)平均水平知识点二1 p 2. 3. npnMN题型探究例 1 解 (1) X 的可能取值为300，100,100,300.P(X300)0.2 30.008，P(X100)C 0.80.220.096，13P(X100)C 0.820.210.384，23P(X300)0.8 30.512，所以 X 的概率分布如下表：X 300 100 100 300P 0.
11、008 0.096 0.384 0.512所以 E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分)(2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(X0) P(X100) P(X300)0.3840.5120.896.跟踪训练 1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量 X，显然 X 的所有可能取值为 0,5,25,100.依题意 X 的概率分布如下表：X 0 5 25 100P 391400 150 1500 12 000- 10 -所以 E(X)0 5 25 100391400 150 1500 12 0000.2，所以一张彩票的合理价格是 0.2 元例 2 解
12、 (1)投篮 1 次，命中次数 X 的概率分布如下表：X 0 1P 0.4 0.6则 E(X)0.6.(2)由题意知，重复 5 次投篮，命中次数 Y 服从二项分布，即 Y B(5,0.6)，E(Y) np50.63.引申探究解 E( ) E(5Y2)5 E(Y)253217.跟踪训练 2 解 设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p(10.5)0.3，解得p0.6.(1)设所求概率为 P1，则P11(10.5)(10.6)0.8.故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2. X B(10
13、0,0.2)， E(X)1000.220. X 的均值是 20.例 3 解 p ， ， n5，35 3n 355 个球中有 2 个白球方法一 白球的个数 可取 0,1,2.则 P( 0) ，C3C35 110P( 1) ，C23C12C35 35P( 2) .C13C2C35 310 E( ) 0 1 2 .110 35 310 65方法二 取到白球的个数 服从参数为 N5， M2， n3 的超几何分布，- 11 -则 E( ) .nMN 325 65跟踪训练 3 解 方法一 P(X0) ，C31C315 2235P(X1) ，C12C213C315 1235P(X2) ，C2C13C315
14、135则 E(X)0 1 22235 1235 135 .25方法二 由题意可知， X 服从 N15， M2， n3 的超几何分布， E(X) .MnN 2315 25例 4 解 (1)记 A1表示事件“第 2 局结果为甲胜” ， A2表示事件“第 3 局甲参加比赛，结果为甲负” ，A 表示事件“第 4 局甲当裁判” 则 A A1A2.P(A) P(A1A2) P(A1)P(A2) .14(2)X 的可能取值为 0,1,2.记 A3表示事件“第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙” ， B1表示事件“第 1 局结果为乙胜丙” ，B2表示事件“第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲” ， B3表示事
15、件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负” 则 P(X0) P(B1B2A3) P(B1)P(B2)P(A3) ，18P(X2) P( 1B3) P( 1)P(B3)B B ，14P(X1)1 P(X0) P(X2)1 ，18 14 58E(X)0 P(X0)1 P(X1)2 P(X2) .98跟踪训练 4 解 (1)记事件 A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球，- 12 -A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球，B1顾客抽奖 1 次获一等奖， B2顾客抽奖 1 次获二等奖， C顾客抽奖 1 次能获奖由题意， A1与 A2相互独立， A1 2与 1A2互斥， B1与 B2互斥，且A AB1 A1A2，
16、 B2 A1 2 1A2， C B1 B2.A A因为 P(A1) ， P(A2) ，410 25 510 12所以 P(B1) P(A1A2) P(A1)P(A2) ，25 12 15P(B2) P(A1 2 1A2) P(A1 2) P( 1A2)A A A A P(A1)P( 2) P( 1)P(A2)A A P(A1)1 P(A2)1 P(A1)P(A2) 25 (1 12) (1 25) 12 .12故所求概率为P(C) P(B1 B2) P(B1) P(B2) .15 12 710(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，15
17、所以 X B .(3，15)于是 P(X0)C 0 303(15)(45) ，64125P(X1)C 1 2 ，13(15)(45) 48125P(X2)C 2 1 ，23(15)(45) 12125P(X3)C 3 0 .3(15)(45) 1125故 X 的概率分布如下表：X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125故 X 的均值为 E(X)3 .15 35- 13 -当堂训练11.18 2. 3.0.4324解 (1) 的概率分布如下表： 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15 的均值为 E( )0 1 2 3 4 .12 120 110 320 15 32(2)E( ) aE( )41，又 E( ) ，32则 a 41， a2.32
