1、- 1 -2.4 二项分布学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题知识点一 独立重复试验思考 1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？思考 2 试验结果有哪些？思考 3 各次试验的结果有无影响？梳理 n 次独立重复试验的特点(1)由_次试验构成(2)每次试验_完成，每次试验的结果仅有_的状态，即_(3)每次试验中 P(A) p0.特别地， n 次独立重复试验也称为伯努利试验知识点二 二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮 3 次，每次投篮的命中率都是 0.8，用Ai(
2、i1,2,3)表示第 i 次投篮命中这个事件，用 Bk表示仅投中 k 次这个事件思考 1 用 Ai如何表示 B1，并求 P(B1)- 2 -思考 2 试求 P(B2)和 P(B3)梳理 一般地，在 n 次独立重复试验中，每次试验事件 A 发生的概率均为 p(0 p1)，即P(A) p， P( )1 p q.A若随机变量 X 的分布列为 P(X k)C pkqn k，kn其中 0 p1， p q1， k0,1,2， n，则称 X 服从参数为 n， p 的二项分布，记作X B(n， p)类型一 求独立重复试验的概率例 1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设每次射击是否击中目标相
3、23 34互之间没有影响(结果需用分数作答)引申探究若本例条件不变，求两人各射击 2 次，甲、乙各击中 1 次的概率(1)求甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据 n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验- 3 -(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆(3)计算：就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算跟踪训练 1 9 粒种子分别种在甲、乙、丙 3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为
4、.12若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子(1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记 3 个坑中恰好有 1 个坑不需要补种的概率为 P1，另记有坑需要补种的概率为 P2，求P1 P2的值类型二 二项分布例 2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在 1 次游戏中，摸出 3 个白球的概率；获奖的概率；(2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的概率分布- 4
5、-反思与感悟 (1)当 X 服从二项分布时，应弄清 X B(n， p)中的试验次数 n 与成功概率 p.(2)解决二项分布问题的两个关注点对于公式 P(X k)C pk(1 p)n k(k0,1,2， n)，必须在满足独立重复试验时才能应kn用，否则不能应用该公式；判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次跟踪训练 2 袋子中有 8 个白球，2 个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布类型三 二项分布的综合应用例 3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个
6、交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .13(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的概率分布；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数 的概率分布；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率- 5 -反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A B 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、 n 次独立重复试验的概率公式求解跟踪训练 3 一个
7、口袋内有 n(n3)个大小相同的球，其中 3 个红球和( n3)个白球，已知从口袋中随机取出 1 个球是红球的概率为 p.若 6pN，有放回地从口袋中连续 4 次取球(每次只取 1 个球)，在 4 次取球中恰好 2 次取到红球的概率大于 ，求 p 与 n 的值8271在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是_2某人进行射击训练，一次击中目标的概率为 ，经过三次射击，此人至少有两次击中目标35- 6 -的概率为_3甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为 32，比赛时均能正常发
8、挥技术水平，则在 5 局 3 胜制中，甲队打完 4 局才胜的概率为_4下列说法正确的是_(填序号)某同学投篮的命中率为 0.6，在他 10 次投篮中命中的次数 X 是一个随机变量，且X B(10,0.6)；某福彩的中奖概率为 p，某人一次买了 8 张，中奖张数 X 是一个随机变量，且 X B(8， p)；从装有 5 个红球、5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 X 是随机变量，且 X B .(n，12)5从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的概率分布251独立重复试验要
9、从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生2如果 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)C pk(1 p)n k.此概率公式恰为(1 p) pn展开式的第 k1 项，故称该kn公式为二项分布公式- 7 -答案精析问题导学知识点一思考 1 条件相同思考 2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生思考 3 无，即各次试验相互独立梳理 (1) n (2)相互独立 两种对立 A 与 A知识点二思考 1 B1( A1 2 3)( 1A2 3)
10、( 1 2A3)，A A A A A A因为 P(A1) P(A2) P(A3)0.8，且 A1 2 3、 1A2 3、 1 2A3两两互斥，A A A A A A故 P(B1)0.80.2 20.80.2 20.80.2 230.80.2 20.096.思考 2 P(B2)30.20.8 20.384，P(B3)0.8 30.512.题型探究例 1 解 (1)记“甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由题意，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故 P(A1)1 P( 1)1( )3 .A23 1927(2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2， “乙
11、射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为事件 B2，则 P(A2)C ( )2 ，223 49P(B2)C ( )1(1 ) ，1234 34 38由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2) .49 38 16引申探究解 记“甲击中 1 次”为事件 A4，记“乙击中 1 次”为事件 B4，则 P(A4)C (1 ) ，1223 23 49P(B4)C (1 ) .1234 34 38- 8 -所以甲、乙各击中 1 次的概率为P(A4B4) .49 38 16跟踪训练 1 解 (1)因为甲坑内 3 粒种子都不发芽的概率为3 ，(112) 18所以甲坑不需要补种的概率为1 .18 78(2)3 个坑
12、恰有 1 个坑不需要补种的概率为P1C 2 .1378 (18) 21512由于 3 个坑都不需补种的概率为 3，(78)则有坑需要补种的概率为P21 3 .(78) 169512所以 P1 P2 .21512 169512 95256例 2 解 (1)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3) .C23C25 C12C23 15设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B A2 A3.又 P(A2) ，且 A2， A3互斥，C23C25 C2C23 C13C12C25 C12C23 12所以 P(B) P(A2) P(A3) .12 15 710(
13、2)由题意可知， X 的所有可能取值为 0,1,2，则 P(X0)(1 )2 ，710 9100P(X1)C (1 ) ，12710 710 2150P(X2)( )2 .710 49100所以 X 的概率分布如下表：X 0 1 2- 9 -P 9100 2150 49100跟踪训练 2 解 取到黑球个数 X 的可能取值为 0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为 ，15所以 P(X0)C 0 303(15) (45) ，64125P(X1)C 2 ，13(15) (45) 48125P(X2)C 2 ，23(15) (45) 12125P(X3)C 3 0 .3(15) (45) 112
14、5故 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125例 3 解 (1)由 B ，则(5，13)P( k)C k 5 k， k0,1,2,3,4,5.k5(13)(23)故 的概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5P 32243 80243 80243 40243 10243 1243(2) 的分布列为 P( k) P(前 k 个是绿灯，第 k1 个是红灯) k ， k0,1,2,3,4；(23) 13P( 5) P(5 个均为绿灯) 5.(23)故 的概率分布如下表： 0 1 2 3 4 5P 13 29 427 881 16243 32243(3)所求概
15、率为 P( 1)1 P( 0)1 5 .(23) 211243- 10 -跟踪训练 3 解 由题设知，C p2(1 p)2 .24827 p(1 p)0，不等式化为 p(1 p) ，29解得 p ，故 26p4.13 23又6 pN，6 p3，即 p .12由 ，得 n6.3n 12当堂训练10.4,1 2. 3. 4.81125 1626255解 由题意知 B(3， )，25则 P( 0)C ( )0( )3 ，0325 35 27125P( 1)C ( )1( )2 ，1325 35 54125P( 2)C ( )2( )1 ，2325 35 36125P( 3)C ( )3 .325 8125所以随机变量 的概率分布如下表： 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125
