1、1专题 5.2 图形的相似一、单选题1两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）A ： B 2：3 C 4：9 D 8：27【来源】广西壮族自治区玉林市 2018 年中考数学试卷【答案】C【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【详解】两三角形的相似比是 2：3，其面积之比是 4：9，故选 C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.2已知ABCDEF，相似比为 2，且ABC 的面积为 16，则DEF 的面积为（ ）A 32 B 8 C 4 D 16【来源】贵州省铜仁市 2018 年中考数学试题【答案】C点睛：此题
2、考查了相似三角形的性质此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用3 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1尺=10 寸） ，则竹竿的长为（ ）2A 五丈 B 四丈五尺 C 一丈 D 五尺【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷【答案】B【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键4如图
3、，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D 【来源】黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】分析：由 GEBD、GFAC 可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出 ，此题得解详解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA， ， ，3 故选：D点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 是解题的关键5如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF、B
4、E 交于点 G，则 SEFG：S ABG =（ ）A 1：3 B 3：1 C 1：9 D 9：1【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键. 6如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC连接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）4A B C D 1【来源】四川省达州市 2018 年中考数学试题【答案】C【解析】分析：首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 G
5、HAC，推出BGHBAC，可得, ，由此即可解决问题点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题7如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，过点 A 作 ABx 轴于点 B将AOB 以坐标原点 O为位似中心缩小为原图形的 ，得到COD，则 CD 的长度是（ ）5A 2 B 1 C 4 D 2【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷【答案】A【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键8如图，平行于 BC 的直线 DE 把AB
6、C 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）A 1 B C -1 D +1【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷【答案】C【解析】 【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合 SADE =S 四边形 BCED，可得出，结合 BD=ABAD 即可求出 的值【详解】DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC， ，S ADE =S 四边形 BCED，S ABC =SADE +S 四边形 BCED， ， ，故选 C6【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键9如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，
7、1） ， （3，1） ， （3，0） ，点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动，设点 B的坐标为（0， b） ，则 b 的取值范围是（ ）A B C D 【来源】广西壮族自治区桂林市 2018 年中考数学试题【答案】A【解析】分析：分两种情形：当 A 与点 N、M 重合时来确定 b 的最大与最小值即可.详解：如图 1，当点 A 与点 N 重合时，CAAB，MN 是直线 AB 的一部分，N（3，1）OB=1，此时 b=1；当点 A 与点 M 重合时，如图 2，延长 NM 交 y 轴于点 D，易证MCNB
8、MD7 MN=3- = ,DM= ，CN=1BD= OB=BD-OD= -1= ,即 b=- ， b 的取值范围是 .故选 A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键10如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为16，BAD60,则OCE 的面积是（ ）A B 2 C D 4【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷【答案】A【详解】菱形 ABCD 的周长为 16，菱形 ABCD 的边长为 4，BAD60，ABD 是等边三角形，又O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，ACBD，8【点睛】
9、本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.11如图，在ABC 中，EFBC，AB=3AE，若 S 四边形 BCFE=16，则 SABC =（ ）A 16 B 18 C 20 D 24【来源】广西壮族自治区贵港市 2018 年中考数学试卷【答案】B【解析】 【分析】由 EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出 SABC 的值【详解】EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，S AEF ：S ABC =1：9，设 SAEF =x，S 四边形 BCFE=16，9 ，解得：x=2，S ABC
10、=18，故选 B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键.12在ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积之比为（ ）A B C D 【来源】广东省 2018 年中考数学试题【答案】C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出 DEBC是解题的关键 二、填空题13已知：如图，ABC 的面积为 12，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为_10【来源】四川省资阳市 2018 年中考数学试卷【答案】9【解析】 【分析】设四边形
11、BCED 的面积为 x，则 SADE =12x，由题意知 DEBC 且 DE= BC，从而得，据此建立关于 x 的方程，解之可得【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质14如图，在ABC 中，BC=6，BC 边上的高为 4，在ABC 的内部作一个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为_【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷11【答案】 【解析】 【分析】作 AQBC 于点 Q，交 DG 于点 P，设 GF=PQ=x，则 AP=4x，证ADGABC
12、 得 ，据此知 EF=DG= （4x） ，由 EG= 即可求得答案【详解】如图，作 AQBC 于点 Q，交 DG 于点 P，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理15如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上如果BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_12【来源】上海市 2018 年中考数学试卷【答案】【详解】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，AH= =3，设正方形 DEFG 的边长
13、为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC， ，即 ，解得 x= ，即正方形 DEFG 的边长为 ，故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出 BC 边上的高是解题的关键.16如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是45，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是_m（结果保留根号）13【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷【答案】40【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 tanCDA=tan30= 是解题关键17如图所示，点 E 是平行四边形
14、 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF写出图中任意一对相似三角形：_【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷【答案】ADFECF【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到 ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【详解】四边形 ABCD 为平行四边形，ADCE，14ADFECF，故答案为：ADFECF【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.18如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的长为_【来源】北京市 2018 年中考数学试卷【
15、答案】 点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.19如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，相似比为 ， ， ，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是_15【来源】山东省菏泽市 2018 年中考数学试题【答案】 （2，2 ） 详解： 与 是以点 为位似中心的位似图形， ，若点 的坐标是 ，过点 作 交 于点 E.点 的坐标为：与 的相似比为 ，点 的坐标为： 即点 的坐标为：故答案为：点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键. 三、解答题1620周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了
16、河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、 A 共线已知： CB AD， ED AD，测得 BC1 m， DE1.5 m，BD8.5 m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB【来源】陕西省 2018 年中考数学试题【答案】河宽为 17 米【解析】 【分析】由题意先证明ABC ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得 AB 的长.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.21已知正方形 中 与 交
17、于 点，点 在线段 上，作直线 交直线 于 ,过 作 于 ,设直线 交 于 .17（1）如图，当 在线段 上时，求证： ；（2）如图 2，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： ；（3）在图 3，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： .【来源】湖南省常德市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】 （1）正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，OD=OA，AOM=DON=90，OND+ODN=90，ANH=OND，ANH+ODN=90，DHAE，DHM=90，ANH+OAM=90，ODN=OAM，DONAOM，OM=ON；1
18、8DNAE，DENM 是菱形，DE=EN，EDN=END，ENBD，END=BDN，EDN=BDN，BDC=45，BDN=22.5，AHD=90，AMB=DME=90BDN=67.5，ABM=45，BAM=67.5=AMB，BM=AB；（3）设 CE=a（a0）ENCD，CEN=90，ACD=45，CNE=45=ACD，EN=CE=a，CN= a，19a= b（已舍去不符合题意的）CN= a= b，AC= （a+b）= b，AN=ACCN= b，AN 2=2b2，ACCN= b b=2b2AN 2=ACCN【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三
19、角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形 DENM 是菱形是解（2）的关键，判断出DENADE 是解（3）的关键22如图，在四边形 ABCD 中，ACBD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且MB=MN.20（1）求证：BN 平分ABE； （2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长； （3）如图，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：MFNBDC【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析 . 详解：（1）AB=
20、AC，ABC=ACB，M 为 BC 的中点，AMBC，在 RtABM 中，MAB+ABC=90，在 RtCBE 中，EBC+ACB=90，MAB=EBC，又MB=MN，MBN 为等腰直角三角形，MNB=MBN=45，EBC+NBE=45，MAB+ABN=MNB=45，NBE=ABN，即 BN 平分ABE；21（2）设 BM=CM=MN=a，四边形 DNBC 是平行四边形，DN=BC=2a，在ABN 和DBN 中， ，ABNDBN（SAS） ，AN=DN=2a，在 RtABM 中，由 AM2+MB2=AB2可得（2a+a） 2+a2=1，解得：a= （负值舍去） ，BC=2a= ；点睛：本题主要
21、考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点 23在ABC 中，ABC=90（1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：ABMBCN；（2）如图 2，P 是边 BC 上一点，BAP=C，tanPAC= ，求 tanC 的值；（3）如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，DEB=90，sinBAC= ， ，直接写出 tanCEB的值22【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3） . 【详解】 （1）A
22、MMN，CNMN，AMB=BNC=90，BAM+ABM=90，ABC=90，ABM+CBN=90，BAM=CBN，AMB=NBC，ABMBCN；（2）如图，过点 P 作 PFAP 交 AC 于 F，在 RtAFP 中，tanPAC= ，同（1）的方法得，ABPPQF， ，设 AB= a，PQ=2a ，BP= b， FQ=2b（a0，b0） ，BAP=C，B=CQF=90，23ABPCQF， ，CQ= =2a，（3）在 RtABC 中，sinBAC= ，如图，过点 A 作 AGBE 于 G，过点 C 作 CHBE 交 EB 的延长线于 H，DEB=90，CHAGDE， ，同（1）的方法得，ABG
23、BCH， = ，设 BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，AB=AE，AGBE，EG=BG=4m，GH=BG+BH=4m+3n，24 ，n=2m，EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在 RtCEH 中，tanBEC= 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图 1 中的相似三角形模型是解本题的关键24如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，点 O，E，F，G 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE（1）证明：四边形 OE
24、FG 是平行四边形；（2）将OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN，如图 2 所示，连接 GM，EN若 OE= ，OG=1 ，求 的值；试在四边形 ABCD 中添加一个条件，使 GM，EN 的长在旋转过程中始终相等 （不要求证明）【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）证明见解析；（2） ；添加 AC=BD.【解析】 【分析】 （1）连接 AC，由四个中点可知 OEAC、OE= AC，GFAC、GF= AC，据此得出OE=GF、OE/GF，即可得证；（2）由旋转性质知 OG=OM、OE=ON，GOM=EON，据此可证OGMOEN 得 ；连接 AC、BD，根据知OGMOEN
25、，若要 GM=EN 只需使OGMOEN，添加使 AC=BD 的条件均可以满足此条件【详解】 （1）如图 1，连接 AC，25（2）OGE 绕点 O 顺时针旋转得到OMN，OG=OM、OE=ON，GOM=EON， ，OGMOEN， ；添加 AC=BD，如图 2，连接 AC、BD，点 O、E、F、G 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点，OG=EF= BD、OE=GF= BD，AC=BD，26【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点25如果三角形的两个内角 与 满足 2+=90，那么我们称
26、这样的三角形为“准互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，则B= ；（2）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=5若 AD 是BAC 的平分线，不难证明ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D） ，使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长【来源】江苏省淮安市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）15；（2）BE= （3）AC=20【解
27、析】分析：（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得 CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF只要证明FCBFAC，可得 CF2=FBFA，设 FB=x，则有：27x（x+7）=12 2，推出 x=9 或16（舍弃） ，再利用勾股定理求出 AC 即可；详解：（1）ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，2B+A=60，解得，B=15；（2）如图中，（3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF28则有：x（x+7）=12 2，x=9 或16（舍去） ，AF=7+9=16，在 RtACF 中，AC=
28、 点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、 “准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题 26在ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重合） （1）如图 1，若 EFBC，求证：（2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行， （1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为ABC 的重心， ，求 的值【来源】湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷29【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 详解：（
29、1）EFBC，AEFABC， ， = = ；（2）若 EF 不与 BC 平行， （1）中的结论仍然成立，分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，FNAB、CHAB，FNCH，AFNACH， ，30 = = ；（3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，而 = = a， + a = a，解得：a= ， = = 点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的定义及其性质等知识点27 （1） （发现）如图，已知等边ABC，将直角三角板的 60角顶点 D 任意放在 BC 边上（点 D 不与点
