1、1一元二次方程的几何应用一、选择题1. （2018 贵州安顺， T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2 -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或 9【答案】A【解析】解 x2 -7x+10 = 0，得 x=2或 5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为 5，底边长为 2.该等腰三角形的周长为 5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1. （2018 湖北黄冈，12 题，3 分）一个三角形的两边长分别为 3和 6，第三边长是方程 x2-10x+21=0的根，
2、则三角形的周长为_【答案】16【解析】解该方程得 x1=3，x 2=7，因为两边长为 3和 6，所以第三边 x的范围为：6-3x6+3，即 3x9，所以舍去 x1=3，即三角形的第三边长为 7，则三角形的周长为 3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2. （2018 江西，12，3 分）在正方形 ABCD中， AB6，连接 AC， BD， P是正方形边上或对角线上一点，若PD2 AP，则 AP的长为_【答案】2，2 ， 3 14 22【解析】 PD2 AP，设 AP x，则 PD2 x，当 P在 AD边上时，如解图， AD6， AP PD6， x2 x6 即 x2， AP2当
3、 P在 DC上时，如解图在 Rt ADP中， AP PD， PD2 AP，第 12题解图 第 12题解图当 P在 BC边上时，如解图，DP最大为 6 ， AP最小为 6， PD2 AP，2当 P在 AB上时，如解图，在 Rt ADP中， AP2 AD2 PD2， x26 2(2 x)2，解得 x12 ， x22 (舍)，3 3 AP2 ；3第 12题解图 第 12题解图 第 12题解图 第 12题解图当 P在 AC对角线上时，如解图，在 Rt ADC中， AC 6 ， AO AC3 ，在 Rt PDO中，AB2 BC2 212 2PO3 x， PD2 x， DO AO3 ， PD2 PO2 D
4、O2，2 2(2x)2(3 )2(3 x)2，解得 x1 ， x2 (舍)， AP ；2 2 14 2 14 2 14 2当 P在 DB对角线上时，如解图，在 Rt APO中， AP2 AO2 PO2， x2(2 x3 )2(3 )2，整理得：2 2x24 x120，(4 )24112160，方程无解，综上所述： AP2 或 2 或 2 2 3 14 23【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018 浙江省台州市，16，5 分） 如图，在正方形 ABCD中， 3，点 E， F分别在 CD， A上， EDF， B， C相交于点 G.若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 2:
5、3，则 BG的周长为 【答案】 3+15【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为 2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明 BCECDF，一是可以得到 BCG 是直角三角形，二是可以得到 BCG 的面积，进而求出 BGC=3A；利用勾股定理可以求出 2+=9BGC，这样就可以求出BG+C=15，因而 BCG 的周长就可以表示出来了.【解题过程】在正方形 ABCD中，AB=3， 2ABCD=9S3正 方 形 ，阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 2:3，空白部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 1:3， =3S空 白
6、 ，四边形 ABCD是正方形，BC=CD，BCE=CDF=90CE=DF,BCECDF(SAS)4CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90，BCG 是直角三角形易知 BCGFED3=S2四 边 形 ， BCG13=S2A， A，根据勾股定理： 22+，即 2+9 22=BGC=315BCA（ ） ， G+15，BCG 的周长=BG+CG+BC= 3+15【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1. （2018 浙江杭州，21，10 分） 如图，在ABC 中，ACB=90，以点 B为圆心，BC 长为半
7、径画弧，交线段AB于点 D，以点 A为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC于点 E，连接 CD。（1）若A=28，求ACD 的度数；（2）设 BC=a，AC= b线段 AD的长度是方程 220xab的一个根吗？说明理由；若 AD=EC，求 ab的值。5【思路分析】 （1）先求B,再根据等腰三角形知识求BCD，在用直角求出ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，表再示出 AD，根据一元二次方程的解表示出 220xab的解进行对比；由 AD=AE,则可得 AD= 12b，从而可列方程求解出比值【解题过程】 000 00022222(1)9,28,62, 18,86559831()AD=m, , ,
8、0,BABDBCBDCBDCAamaRTAAabb设 在 中 ， 2222223, , ,3+0()0430,b,4 xbAECbEmCEbmxx aab 长 为 方 程 的 根 。（ ） 设 即 ， 将 代 入 得 ： （ ）【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1. （2018 湖北鄂州，20，8 分）已知关于 x的方程 22340kxk（1）求证：无论 k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根 x1， x2为一菱形的两条对角线之长，且 2361xx，求 k值及该菱形的面积【思路分析】 （1）只需证明根的判别式0，即可证得无论 k为何值，原方程都有实数根
9、；（2）利用韦达定理求出 k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积【解析】解：（1）证明：由题意可知， a1， b（3 k3） ，c 42k， b24 ac222(3)4981681()kkk， (1)k0，0，无论 k为何值，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可知 (3)312bxka， 241cxka， 2236, 6,4361x xk，化简得 5140k，()70k，解得 k2 或7， x1， x2为一菱形的两条对角线之长，且x1 x23 k3，3 k30， k7 舍去， k2，该菱形的面积为61122442xk9【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判
10、别式；菱形的性质；菱形的面积公式2. （2018 湖北宜昌，21，8 分）如图，在 ABC中， A. 以 B为直径的半圆交 AC于点 D，交 B于点 E.延长 A至点 F，使 E,连接 F， .(1)求证:四边形 BC是菱形；(2) 若 72D， ，求半圆和菱形 ABC的面积.(第 21题图) 【思路分析】(1)先由 EFA， 以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到 CEB，证明四边形 ABC是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形 AF是菱形.(2) 设 Dx，则 7x，连接 BD，在 Rt BDA中， 22BD,在 Rt BDA中， 22BC, 2A2
11、C,从而 建立方程，求出 x的值，并求出 BD的值，求出半圆和菱形 AF的面积.【解析】(1)证明： B为半圆的直径，90E,ABC,7CEB,又 FA,四边形 是平行四边形 .又 BC,（或 90EB， ）平行四边形 AF是菱形 .(3) 解：连接 D， 7,2BEC,设 x，则 7Ax，(第 21题第 2问答图) AB为半圆的直径， 90D,在 Rt BDA中， 22ABD,在 Rt BDA中， 22C,22ABD(7)4xx1或 28（舍去）71ABCx821=48S半 圆 22715BDA,=815=SC菱 形【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.
