1、1第 7课时 相似三角形的综合应用类型一 A 字型(有一个公共角)1. (2016昆明)如图，反比例函数 y (k0)的图象经过 A、 B两点，过点 A作 AC xkx轴，垂足为 C，过点 B作 BD x轴，垂足为 D，连接 AO，连接 BO交 AC于点 E，若 OC CD，四边形 BDCE的面积为 2，则 k的值为_第 1题图2. (2016锦州)如图，已知 ABC， ACB90， ACBC，点 D为 AB的中点，过点 D作BC的垂线，垂足为点 F，过点 A、 C、 D作 O交 BC于点 E，连接 CD、 DE.(1)求证： DF为 O的切线； (2)若 AC3， BC9，求 DE的长第 2
2、题图类型二 8 字型(有一组对顶角)3. (2016抚顺)如图，矩形 ABCD的顶点 D在反比例函数 y (x0)的图象上，顶点kxB、 C在 x轴上，对角线 AC的延长线交 y轴于点 E，连接 BE，若 BCE的面积是 6，则 k的值为( )A. 6 B. 8 C. 9 D. 12第 3题图4. (2017眉山)如图，点 E是正方形 ABCD的边 BC延长线上一点，连接 DE，过顶点 B作 BF DE，垂足为 F， BF分别交 AC于 H，交 DC于 G.(1)求证： BG DE; (2)若点 G为 CD的中点，求 的值HGGF2第 4题图类型三 母子型(有一个公共角，及一边共用)A 公共角
3、， AC为公共边 ACD B或 ADC ACB5. (2015上海)已知：如图，平行四边形 ABCD的对角线相交于点 O，点 E在边 BC的延长线上，且 OE OB，连接 DE.(1)求证： DE BE；(2)如果 OE CD，求证： BDCE CDDE.第 5题图6. (2016成都)如图，在 Rt ABC中， ABC90，以 CB为半径作 C，交 AC于点D，交 AC的延长线于点 E，连接 BD， BE.(1)求证： ABD AEB；(2)当 时，求 tanE; ABBC 43(3)在(2)的条件下，作 BAC的平分线，与 BE交于点 F，若 AF2，求 C的半径第 6题图类型四 双垂直型
4、 ACD CBD ABC7. 如图，在 ABC中， AB AC， BD CD， CE AB于点 E.(1)求证： ABD CBE；(2)若 BD3， BE2，求 AC的长第 7题图38. (2015陕西)如图， AB是 O的直径， AC是 O的弦，过点 B作 O的切线 DE，与 AC的延长线交于点 D，作 AE AC交 DE于点 E.(1)求证： BAD E；(2)若 O的半径为 5， AC8，求 BE的长第 8题图类型五 一线三等角型 （ 1 2 3）阴 影 部 分 两 三 角 形 相 似9. (2017宿迁)如图，在 ABC中， AB AC，点 E在边 BC上移动(点 E不与点 B、 C重
5、合)，满足 DEF B，且点 D、 F分别在边 AB、 AC上(1)求证： BDE CEF; (2)当点 E移动到 BC的中点时，求证： FE平分 DFC.第 9题图10. 如图，等边 ABC的边长为 6，点 D， E， F分别在 BC， AB， AC上，且 EDF60.(1)求证： BDE CFD; (2)当 BD1， CF3 时，求 BE的长第 10题图类型六 三垂直型11. (2017江西)如图，正方形 ABCD中，点 E， F， G分别在 AB，BC， CD上，且4 EFG90.求证： EBF FCG.第 11题图12. 如图， AOB90，反比例函数 y 的图象过点 B，若点 A的坐
6、标为(2，1)，kxBO2 ，求 B的坐标和反比例函数的解析式5第 12题图13. (2016达州)如图，已知 AB为半圆 O的直径， C为半圆 O上一点，连接 AC， BC，过点 O作 ODAC 于点 D，过点 A作半圆 O的切线交 OD的延长线于点 E，连接 BD并延长交 AE于点 F.(1)求证： AEBC ADAB；(2)若半圆 O的直径为 10，sin BAC ，求 AF的长35第 13题图5答案1. 【解析】 AC x轴， BD x轴， AC BD， OCE163ODB， ( )2，OCCD OD， ( )2 ，设 SOCE a，则 SS OCES ODB OCOD 12 S OC
7、ES ODB 12 14ODB4 a， S 四边形 BDCE3 a，3 a2，解得 a ， SOBD 4a ， |k| SODB ，即23 83 12|k| ，解得 k ，反比例函数图象的一支在第二象限， k0， k .12 83 163 1632. (1)证明：如解图，连接 AE、 OD，第 2题解图 ACB90， AE为 O的直径， O为 AE的中点，又 D为 AB的中点， OD为 AEB的中位线， OD BE， ODF DFB， DF BC， DFB90， ODF90，即 OD DF，又 OD是 O的半径， DF为 O的切线；(2)解： ACB90， AC3， BC9，在 RtA BC中
8、，由勾股定理得AB 3 ，AC2 BC2 32 92 10 D为 AB的中点，6 BD AB ，12 3102 AE为 O的直径， ADE90， BDE BCA90，又 B B， BDE BCA， ，即 ，BDBC DEAC 31029 DE3解得 DE .1023. D 【解析】四边形 ABCD是矩形， ABBC，又 OE BC， ACB ECO，ABC EOC， ，BC OE ABOC，即 SDCO SBCE 6，| k|2 SDCO 12，反ABOE BCOC比例函数图象在第二象限， k0， k12.4. (1)证明：四边形 ABCD是正方形， BC CD， BCD90， DCE90，即
9、 BCDDCE， E CDE90， BF DE， E EBF90， EBF CDE，在 BCG和 DCE中，BCDEF，7 BCG DCE(ASA)， BG DE；(2)解： G是 CD的中点， CG GD，则 AB BC CD 2CG，在 Rt BCG中， BG CG，BC2 CG2 5 DFG BCG90， DGF BGC， DGF BGC， ，即 ，GFCG GDGB GFCG CG5CG GF CG，55 AB CD， GHC BHA， ，即 ，GHBH CGAB GHBH CG2CG HG BH，12 HG BG CG，13 53 .HGGF53CG55CG 535. 证明：(1)
10、OE OB， OBE OEB，四边形 ABCD是平行四边形， OB OD，8 OE OD， ODE OED，在 BED中， OBE OEB OED ODE180，2 OEB2 OED180， OEB OED90，即 BED90， DE BE；(2)如解图，设 OE交 CD于点 H.第 5题解图 OE CD， CHE90， CEH DCE90， CED90， CDE DCE90， CDE CEH， OEB OBE， OBE CDE，又 CED BED， CED DEB， ，即 BDCE CDDE.CEDE CDDB6. (1)证明： ABC90， ABD DBC90， CB CE，9 CBE E
11、， DE是 C的直径， DBE90， DBC CBE DBC ABD90， ABD CBE E，又 BAD EAB， ABD AEB；(2)解：令 AB4 x，则 BC3 x，由勾股定理得 AC5 x， CD BC3 x， AD2 x， AE8 x，由(1)知， ABD AEB， ，ABAE BDBE ADAB ，BDBE 2x4x 12 DBE90，tan E ；BDBE 12(3)解：如解图，过点 A作 EB延长线的垂线，垂足为点 G，第 6题解图 AF平分 BAC，12，又 BC CE，3 E，在 BAE中，有123 E1809090，1042 E45， GAF为等腰直角三角形， AF2
12、， AG ，2由(2)可知， AE8 x， tanE ，12 AG AE x，55 855即 x ，855 2解得 x ，108半径 r3 x .31087. (1)证明： AB AC， BD CD， AD BC， CE AB， ADB CEB90，又 B B， ABD CBE；(2)解：BD3， BC 2BD6， ABD CBE， ，即 ，BDBE ABBC 32 AB6解得 AB9， AC AB9.118. (1)证明： O与 DE相切于点 B， AB为O 的直径， ABE90， BAE E90，又 DAE90， BAD BAE90， BAD E；(2)解：如解图，连接 BC，第 8题解图
13、 AB为 O的直径， ACB90， AC8，AB2510， BC 6，AB2 AC2 BCA ABE90， BAD E， ABC EAB， ，即 ，ACBE BCAB 8BE 610 BE .4039. 证明：(1) AB AC， B C， B BED EDB180， BED DEF FEC180， DEF B， EDBFEC， B C， BDE CEF；(2)由(1)知 BDE CEF，12 ，BECF DEEF BE CE， ，CECF DEEF又 B C DEF， EDF CEF， DFE EFC， FE平分 DFC.10. (1)证明： ABC为等边三角形， B C60， BED ED
14、B18060120， EDF60， EDB FDC18060120， BED FDC， BDE CFD；(2)解：由(1)知 BDE CFD， ，BECD BDCF BC6， BD1， CD BC BD5， ，BE5 13解得 BE .5311. 证明：四边形 ABCD是正方形， B C90， BEF EFB90， EFG90， EFB CFG1809090，13 BEF CFG， EBF FCG.12. 解：如解图，分别过点 A、 B作 AC x轴于点 C， BD x轴于点 D，第 12题解图则 ACO BDO90，1290，又 AOB90，2390，13， BOD OAC， ，ODAC B
15、DOC BOOA A(2，1)， OC2， AC1， OA ，5又 BO2 ，5 ，OD1 BD2 255 OD2， BD4， B(2，4)把 B(2，4)代入 y 得 k8，kx反比例函数的解析式为 y .8x13. (1)证明： AB为半圆 O的直径， ACB90，14 BAC ABC90， AE为半圆 O的切线， BAE90， EAD BAC90， EAD ABC， OD AC， ADE ACB90， EAD ABC， ，EAAB ADBC AEBC ADAB；(2)解：如解图，设 BF与半圆 O交于点 G，连接 AG，则 AGB ACB90，第 13题解图 ADG BDC， ADG BDC， ，AGBC DGDC在 Rt ABC中， BC ABsin BAC10 6，35 AC 8，AB2 BC2 OD AC， AD CD AC4，12 ，AGDG BCCD 64 32设 AG3 x，则 DG2 x，由勾股定理得 AG2 DG2 AD2，即 9x24 x24 2，15解得 x ，则 AG ，41313 121313 BG ，AB2 AG2341313 AFG FAG90， FAG GAB90， AFG BAG， AGF BGA， ，即 ，AGBG AFBA121313341313 AF10 AF . 6017
