1、1习题课数列求和课后篇巩固探究A组1.已知数列 an的前 n项和为 Sn,若 an= ,则 S5等于( )1(+2)A. B. C. D.5021 2521 2542解析 因为 an= ,1(+2)=12(1- 1+2)所以 S5=a1+a2+a3+a4+a5= .12(1-13 +1214+1315+1416+1517)=2542答案 D2.已知数列 an的通项公式 an= ,若该数列的前 k项之和等于 9,则 k等于( )1+1A.99 B.98 C.97 D.96解析 因为 an= ,所以其前 n项和 Sn=( -1)+( )+(1+1=+1 2 32)= -1.令 -1=9,解得 k=
2、99.+1 +1 +1答案 A3.数列 1,2,3,4 ,的前 n项和为( )2716A. (n2+n-2)+(32)B. n(n+1)+1-(32)C. (n2-n+2)-(32)D. n(n+1)+31-(32)解析 数列的前 n项和为 1+2+3+n+ =(1+2+3+n)+ +12(32)-1 12+34+98-1= (n2+n-2) + ,故选 A.12(32)-1=(+1)2 +121-(32)1-32 =(+1)2 +(32)(32)答案 A24.已知 an为等比数列, bn为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn,若数列 cn是 1,1,2,则数列cn的前 10项和为( )A
3、.978 B.557 C.467 D.979解析 由题意可得 a1=1,设数列 an的公比为 q,数列 bn的公差为 d,则 q 2-2q=0.+=1,2+2=2,q 0, q= 2,d=-1.a n=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,c n=2n-1+1-n.设数列 cn的前 n项和为 Sn,则 S10=20+0+21-1+29-9=(20+21+29)-(1+2+9)=1 023-45=978.1-2101-29(9+1)2答案 A5.已知数列 an满足 a1=1,a2=2,an+2= ,则该数列的前 18项和为 ( )(1+22)+22A.2 101 B.2 012C.1 01
4、2 D.1 067解析 由题意可得 a3=a1+1,a5=a3+1=a1+2,所以奇数项组成以公差为 1,首项为 1的等差数列,共有 9项,因此 S 奇 = =45.偶数项 a4=2a2,a6=2a4=22a2,因此偶数项组成以 2为首项,9(1+9)22为公比的等比数列,共有 9项,所以 S 偶 = =-2+210=1 022.故数列 an的前 18项2(1-29)1-2和为 1 022+45=1 067.答案 D6.已知数列 an的通项公式 an=2n- ,则其前 n项和为 . 12解析 数列 an的前 n项和 Sn= + =2(1+2+n)-(21-12)+(22-122) (2- 12
5、)=2 =n2+n+ -1.(12+122+12) (+1)2 121-(12)1-12 (12)答案 n2+n+ -1(12)7.数列 ,的前 n项和等于 . 112+3, 122+6, 132+9, 142+12解析 a n= ,12+3=13(1- 1+3)3S n=13(1-14)+(12-15)+(13-16)+( 1-1- 1+2)+(1- 1+3)=13(1+12+13- 1+1- 1+2- 1+3)= .1118 32+12+113(+1)(+2)(+3)答案1118 32+12+113(+1)(+2)(+3)8.已知等差数列 an的前 n项和 Sn满足 S3=0,S5=-5.
6、(1)求 an的通项公式;(2)求数列 的前 n项和 Tn.12-12+1解 (1)设 an的公差为 d,则 Sn=na1+ d.(-1)2由已知可得 31+3=0,51+10=-5,解得 a1=1,=-1.故 an的通项公式为 an=2-n.(2)由(1)知,12-12+1= 1(3-2)(1-2)= 1(2-3)(2-1)=12( 12-3- 12-1)从而数列 的前 n项和为12-12+1Tn=12( 1-1-11+11-13+ 12-3- 12-1)= .1-29. 导学号 04994055(2017辽宁统考)已知等差数列 an的公差为 2,且a1,a1+a2,2(a1+a4)成等比数
7、列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 的前 n项和为 Sn,求证: Sn0,2+32-1S n=6- 6.2+32-1B组1.已知数列 an的通项公式 an=(-1)n-1n2,则其前 n项和为( )5A.(-1)n-1 B.(-1)n(+1)2 (+1)2C. D.-(+1)2 (+1)2解析 依题意 Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.当 n为偶数时, Sn=12-22+32-42+-n2=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=- 1+2+3+4+(n-1)+n=- .(+1)2当 n为奇数时, Sn=12-22+32-42+- =Sn-1+n2=-
8、 +n2= .(-1)2+2(-1)2 (+1)2S n=(-1)n-1 .故选 A.(+1)2答案 A2.已知数列 an为 ,则数列 bn= 的前 n项和12,13+23,14+24+34,15+25+35+45 1+1Sn为 ( )A.4 B.4(1- 1+1) (12- 1+1)C.1- D.1+1 12 1+1解析 a n= ,1+2+3+1 =(+1)2+1 =2b n= =4 .1+1= 4(+1) (1- 1+1)S n=4(1-12+12-13+13-14+1- 1+1)=4 .(1- 1+1)答案 A3.已知 Sn是数列 an的前 n项和, a1=1,a2=2,a3=3,数列
9、 an+an+1+an+2是公差为 2的等差数列,则S25= ( )A.232 B.233 C.234 D.235解析 令 bn=an+an+1+an+2,则 b1=1+2+3=6,由题意知 bn=6+2(n-1)=2n+4.因为 S25=a1+a2+a3+a25=a1+b2+b5+b23,而 b2,b5,b23构成公差为 6的等差数列,且 b2=8,于是 S25=1+88+ 6=233.872答案 B4.数列 11,103,1 005,10 007,的前 n项和 Sn= . 解析 因为数列的通项公式为 an=10n+(2n-1),6所以 Sn=(10+1)+(102+3)+(10n+2n-1
10、)=(10+102+10n)+1+3+(2n-1)=(10n-1)+n2.10(1-10)1-10 +(1+2-1)2 =109答案 (10n-1)+n21095.数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+2n-1,的前 n项和等于 . 解析 数列的通项为 an=1+2+22+2n-1,因为 an=1+2+22+2n-1= =2n-1,1-21-2所以该数列的前 n项和 Sn=(21-1)+(22-1)+(2n-1)=(2+22+2n)-n= -n=2n+1-2(1-2)1-2n-2.答案 2n+1-n-26.已知数列 an的前 n项和为 Sn=3n2-2n,而 bn= ,Tn是数列 bn
11、的前 n项和,则使得3+1Tn 对所有 nN *都成立的最小正整数 m等于 . 20解析 由 Sn=3n2-2n,得 an=6n-5.b n=,3+1= 3(6-5)(6+1)=12( 16-5- 16+1)T n= +12(1-17) +(17- 113) ( 16-5- 16+1)= .12(1- 16+1) ,12(1- 16+1)12 要使 对 nN *成立,需有 ,即 m10,故符合条件的最小正整数12(1- 16+1)20 2012为 10.答案 107.已知递增数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 Sn= +n).12(2(1)求 a1及数列 an的通项公式;(2)设 cn=
12、求数列 cn的前 20项和 T20.12+1-1,为奇数,32-1+1,为偶数, 7解 (1)当 n=1时, a1=S1= +1),解得 a1=1.12(21当 n2 时, Sn-1= +n-1),12( 2-1an=Sn-Sn-1= +1),12(2 2-1解得 an-an-1=1或 an+an-1=1(n2) .因为 an为递增数列,所以 an-an-1=1,an是首项为 1,公差为 1的等差数列,所以 an=n.(2)由题意,知 cn=1(+1)2-1,为奇数,32-1+1,为偶数, 所以 T20= +3(21+23+219)+10(122-1+ 142-1+ 1202-1)= + +3
13、 +10113+ 135 11921 2(1-410)1-4= +2(410-1)+1012(11-13+13-15+119- 121)= +221+81021=221+ .178218. 导学号 04994056已知数列 an的前 n项和为 Sn,S1=1,S2=2,当 n2 时,Sn+1-Sn-1=2n.(1)求证: an+2-an=2n(nN *);(2)求数列 an的通项公式;(3)设 Tn=a1+a2+ a3+ an,求 Tn.122 12-1(1)证明 当 n2 时,因为 an+1+an=2n,an+2+an+1=2n+1,所以 an+2-an=2n.又因为 a1=1,a2=1,a
14、3=3,所以 a3-a1=2,所以 an+2-an=2n(nN *).(2)解 当 n为奇数时, an-a1=(an-an-2)+(an-2-an-4)+(a5-a3)+(a3-a1)=2n-2+2n-4+23+2=(2n-1-1),21-4-121-4 =23所以 an= .23+138同理,当 n为偶数时, an= .2313故数列 an的通项公式是 an=23+13,是奇数,23-13,是偶数 .(3)解 由于 Tn=a1+a2+ a3+ an,122 12-1Tn=a1+ a2+ an-1+ an,122 12-1 12+ 得 Tn=n+ an.12所以当 n为奇数时, Tn=n+ ;2+192-1当 n为偶数时, Tn=n+ .2-192-1故 Tn=23+ 2+192-1,为奇数,23+2-192-1,为偶数 .
