1、1第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用课后篇巩固探究A 组1.在各项都为正数的等比数列 an中,首项 a1=3,前 3 项和为 21,则 a3+a4+a5等于( )A.33 B.72 C.84 D.189解析 由 S3=a1(1+q+q2)=21,且 a1=3,得 q+q2-6=0.因为 q0,所以 q=2.故 a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.答案 C2.已知数列 an的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不为零且不等于 1 的常数),则数列 an( )A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列
2、解析 因为 Sn=an-1 符合 Sn=-Aqn+A 的形式,且 a0, a1,所以数列 an一定是等比数列 .答案 B3.已知 an是等比数列, a1=1,a4=,则 a1a2+a2a3+anan+1等于( )A.2(1-4-n) B.2(1-2-n)C. (1-4-n) D. (1-2-n)解析 设公比为 q, =q3=,q=.41a 1=1,a nan+1=1 1 =21-2n.(12)-1 (12)故 a1a2+a2a3+a3a4+anan+1=2-1+2-3+2-5+21-2n=12(1- 14)1-14= (1-4-n).答案 C4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍
3、塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯” .意思是:一座七层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( )A.2 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.6 盏解析 设第七层有 a 盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以 a 为首项,以 2 为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得 =381,解得 a=3,故顶层有 3 盏灯 .(1-27)1-2答案 B25.已知一个等比数列共有 3m 项,若前 2m 项之和为 15,后 2m 项之和为 60,则这个等比数列的所有项的和为 ( )A.63 B.72 C.75 D.87解析 由已
4、知 S2m=15,S3m-Sm=60,又( S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得 Sm=3,所以S3m=60+3=63.答案 A6.在各项均为正数的等比数列 an中, a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列, Sn是数列 an的前 n 项和,则 S10-S4= . 解析 依题意有 2(a4+2)=a2+a5,设公比为 q,则有 2(2q3+2)=2q+2q4,解得 q=2.于是 S10-S4=2 016.2(1-210)1-2 2(1-24)1-2答案 2 0167.已知数列 an满足 a1=1,an+1an=2n(nN *),则 S2 018= .解析
5、 a n+1an=2n(nN *),a1=1,a 2=2,a3=2.又 an+2an+1=2n+1, =2,+2 数列 an的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 2,首项分别为 1,2.S 2 018=(a1+a3+a2 017)+(a2+a4+a2 018)=21 009-12-1 +2(21 009-1)2-1=321 009-3.答案 321 009-38.已知一件家用电器的现价是 2 000 元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付 12 次,月利率为 0.7%,并按复利计算,那么每期应付款 元 .(参考数据:1.007111
6、.080,1.007121 .087,1.07112 .105,1.07122 .252) 解析 设每期应付款 x 元,第 n 期付款后欠款 An元,则A1=2 000(1+0.007)-x=2 0001.007-x,A2=(2 0001.007-x)1.007-x=2 0001.0072-1.007x-x,A12=2 0001.00712-(1.00711+1.00710+1)x,因为 A12=0,所以 2 0001.00712-(1.00711+1.00710+1)x=0,解得 x= 175,2 0001.007121+1.007+1.00711=2 0001.007121.00712-1
7、1.007-1即每期应付款 175 元 .答案 17539.在等差数列 an中, a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 an+bn是首项为 1,公比为 |a2|的等比数列,求 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,依题意得 a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而 d=-3.所以 a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1.所以数列 an的通项公式为 an=-3n+2.(2)由(1)得 a2=-4,所以 |a2|=4.而数列 an+bn是首项为 1,公比为 4 的等比数列 .所以 an+bn=4n-1,即 -
8、3n+2+bn=4n-1,所以 bn=3n-2+4n-1,于是 Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+4+42+4n-1)=.(3-1)2 +1-41-4=(3-1)2 +4-1310. 导学号 04994050 已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an+1=Sn,nN *,求:(1)a2,a3,a4的值及数列 an的通项公式;(2)a2+a4+a6+a2n的值 .解 (1)由 a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,得a2=S1=a1=,a3=S2= (a1+a2)=,a4=S3= (a1+a2+a3)= .1627由 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n2),
9、13得 an+1=an(n2),a 2=,a n= (n2) .13(43)-2 数列 an的通项公式为 an=1,=1,13(43)-2,2.(2)由(1)可知, a2,a4,a2n是首项为,公比为 ,项数为 n 的等比数列,(43)2a 2+a4+a6+a2n= .131-(43)21-(43)2=37(43)2-1B 组1.在等比数列 an中, a1+a2+a3+a4+a5=3, =15,则 a1-a2+a3-a4+a5的值是21+22+23+24+254( )A.3 B. C.- D.55 5解析 由题意可知等比数列 an的公比 q1,则 a1+a2+a5= =3, +1(1-5)1-
10、 21+22=15,25=21(1-10)1-2 =5,a 1-a2+a3-a4+a5= =5.1(1+5)1+ 11-(-)51-(-) =1(1+5)1+答案 D2.已知某公司今年获利 5 000 万元,如果以后每年的利润都比上一年增加 10%,那么总利润达 3 亿元大约还需要 ( )(参考数据:lg 1 .010 .004,lg 1.060 .025,lg 1.10 .041,lg 1.60 .204)A.4 年 B.7 年 C.12 年 D.50 年解析 根据题意知每年的利润构成一个等比数列 an,其中首项 a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到 =
11、30 000,整理得 1.1n=1.6,5 000(1-1.1)1-1.1两边取对数,得 nlg 1.1=lg 1.6,解得 n= 5,故还需要 4 年 .1.61.1答案 A3.已知等比数列 an的公比为 q,其前 n 项和为 Sn,前 n 项之积为 Tn,且满足 a11,a2 016a2 0171, 0C.T2 016是数列 Tn中的最大数D.S2 016S2 017解析 由已知,得 a2 0161,a2 0170,b1),则 a4= . 解析 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(b-1)bn.因为 a1=S1=b2-2,所以( b-1)b=b2-2,解得 b=2,因此Sn=2n+1-
12、2,于是 a4=S4-S3=16.答案 166. 导学号 04994051 如图,作边长为 3 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,如此下去,则前 n 个内切圆的面积和为 .解析 根据题意知第一个内切圆的半径为 3= ,面积为 ,第二个内切圆的半径为 ,面36 32 34积为 ,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为 ,公比为,故前 n 个内切圆的316面积之和为 .34(1- 14)1-14 =(1-14)答案 (1-14)7.已知正项等差数列 an的公差不为 0,a2,a5,a14恰好是等比数列 bn的前三项, a2=3.(1)求数列 an,bn的通项公
13、式;(2)记数列 bn的前 n 项和为 Tn,若对任意的 nN *,k 3 n-6 恒成立,求实数 k 的取(+32)值范围 .解 (1)设公差为 d,根据题意知 d0, a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d. (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3, 3d2-6d=0,d= 2(d=0 舍去) .又 a2=3,d=2,a 1=1,an=2n-1.b 1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,b n=3n.(2)由(1)知 b1=3,q=3.T n= ,1(1-)1- =3(1-3)1-3 =3+1-326 k3 n-6 对 nN *恒成立 .(
14、3+1-32 +32)T n0,k 对 nN *恒成立 .2-43令 cn= ,cn-cn-1= ,2-43 2-43 2-63-1=-2(2-7)3当 n3 时, cncn-1,当 n4 时, cncn-1, (cn)max=c3= ,227故 k .2278. 导学号 04994052 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a2=8,S4=40.数列bn的前 n 项和为 Tn,且 Tn-2bn+3=0,nN *.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)设 cn= 求数列 cn的前 2n+1 项和 P2n+1.,为奇数,为偶数, 解 (1)由题意知, 解得 a n=4n.1+=8,41+6=40, 1=4,=4,T n-2bn+3=0, 当 n=1 时, b1=3,当 n2 时, Tn-1-2bn-1+3=0,两式相减,得 bn=2bn-1(n2),故数列 bn为等比数列,且 bn=32n-1.(2)由(1)知 cn=4,为奇数,32-1,为偶数 .P 2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(b2+b4+b2n)=(+1)4+4(2+1)2 +6(1-4)1-4=22n+1+4n2+8n+2.
