1、1第 1 课时 等比数列的前 n 项和课后篇巩固探究A 组1.已知数列 an的通项公式是 an=2n,Sn是数列 an的前 n 项和,则 S10等于( )A.10 B.210C.a10-2 D.211-2解析 =2, 数列 an是公比为 2 的等比数列,且 a1=2.+1=2+12S 10= =211-2.2(1-210)1-2答案 D2.在等比数列 an中, a2=9,a5=243,则 an的前 4 项和为 ( )A.81 B.120C.168 D.192解析 因为 =27=q3,所以 q=3,a1= =3,S4= =120.52 2 3(1-34)1-3答案 B3.已知等比数列 an的前
2、n 项和为 Sn,且 a1+a3=,a2+a4=,则 =( )A.4n-1 B.4n-1C.2n-1 D.2n-1解析 设公比为 q,则 q= ,2+41+3=12于是 a1+a1=,因此 a1=2,于是 Sn= =4 ,而 an=2 ,于是21-(12)1-12 1-(12) (12)-1=(12)-2=2n-1.=41-(12)(12)-2答案 D4.在 14 与之间插入 n 个数组成一个等比数列,若各项总和为 ,则此数列的项数为( )778A.4 B.52C.6 D.7解析 设 a1=14,an+2=,则 Sn+2= ,14-781- =778解得 q=-.所以 an+2=14 ,(-1
3、2)+1=78解得 n=3.故该数列共 5 项 .答案 B5.已知首项为 1,公比为的等比数列 an的前 n 项和为 Sn,则( )A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an解析 在等比数列 an中, Sn= =3-2an.1-1- =1-231-23答案 D6.对于等比数列 an,若 a1=5,q=2,Sn=35,则 an= . 解析 由 Sn= ,得 an= =20.1-1- 1-(1-) =5+352答案 207.在等比数列 an中,设前 n 项和为 Sn,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q= . 解析 因为 a3=2S2+1,a
4、4=2S3+1,两式相减,得 a4-a3=2a3,即 a4=3a3,所以 q= =3.43答案 38.数列 , 的前 n 项和 Sn= . 12,24,38 2解析 S n= + , 12+222+323 2Sn= + , 122+223 -12 + 2+1由 - ,得 Sn= + =1- ,12+122+123 12 2+1=121-(12)1-12 2+1 12 2+13S n=2- .12-12答案 2-12-129.已知等比数列 an满足 a3=12,a8=,记其前 n 项和为 Sn.(1)求数列 an的通项公式 an;( 2)若 Sn=93,求 n.解 (1)设等比数列 an的公比为
5、 q,则 解得3=12=12,8=17=38, 1=48,=12,所以 an=a1qn-1=48 .(12)-1(2)Sn= =96 .1(1-)1- =481-(12)1-12 1-(12)由 Sn=93,得 96 =93,解得 n=5.1-(12)10. 导学号 04994046 已知等差数列 an的首项为 a,公差为 b,方程 ax2-3x+2=0 的解为 1 和 b(b1) .(1)求数列 an的通项公式;(2)若数列 an满足 bn=an2n,求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)因为方程 ax2-3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=b,可得 解得 所以 an=2n-1.-
6、3+2=0,2-3+2=0, =1,=2.(2)由(1)得 bn=(2n-1)2n,所以 Tn=b1+b2+bn=12+322+(2n-1)2n, 2Tn=122+323+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, 由 - ,得 -Tn=12+222+223+22n-(2n-1)2n+1=2(2+22+23+2n)-(2n-1)2n+1-2=2 -(2n-1)2n+1-2=(3-2n)2n+1-6.2(1-2)1-2所以 Tn=(2n-3)2n+1+6.B 组1.等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S2n=3(a1+a3+a2n-1),a1a2a3=8,则 Sn=( )A.2n-1 B.2
7、n-1-1C.2n+1-1 D.2n+1解析 显然 q1,由已知,得 =3 ,1(1-2)1- 1(1-2)1-24整理,得 q=2.因为 a1a2a3=8,所以 =8,32所以 a2=2,从而 a1=1.于是 Sn= =2n-1.1-21-2答案 A2.已知数列 an是首项为 1 的等比数列, Sn是 an的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 的前 51项和为( )A. 或 5 B. 或 5158 3116C. D.3116 158解析 由题意易知公比 q1 .由 9S3=S6,得 9 ,解得 q=2.1(1-3)1- =1(1-6)1-所以 是首项为 1,公比为的等比数列 .1所以其前
8、 5 项和为 S5= .11-(12)51-12 =3116答案 C3.在等比数列 an中, a1+a2+a5=27, + =3,则 a3=( )11+12 15A.9 B.9 C.3 D.3解析 设公比为 q,则由已知可得1(1-5)1- =27,111-(1)51-1 =3,两式相除,得 q4=9,即 =9,所以 a3=3.21 23答案 C54.若等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S1,S3,S2成等差数列,则 an的公比 q= . 解析 由题意,得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),又 a10, q0,故 q=-.答案 -5.1+ + = . 322+423
9、 2-1+12解析 设 Sn=1+ + ,则 Sn= + ,两式相减,322+423 2-1+12 222+323+424 2+12+1得 Sn=1+ + .122+123 12+12+1=12+121-(12)1-12 +12+1=32(12)+12+1所以 Sn=3- .+32答案 3-+326.若等比数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S3+S6=2S9,则公比 q 等于 . 解析 若 q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a12 S9.q 1, ,1(1-3)1- +1(1-6)1- =21(1-9)1-即 2 q9-q6-q3=0,q 3(2q6-q3-1)=0.q 0, 2q6-
10、q3-1=0, (q3-1)(2q3+1)=0,q 3=-或 q3=1(舍), q=- .342答案 -3427.已知等比数列 an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a4a8.25(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=an-an-1,求数列 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)设 an的公比为 q,则由 =9a4a8,得( a1q4)2=9a1q3a1q7,25即 q8=9 q10,因此 q2=.21 21因为 an的各项均为正数,所以 q0,所以 q=.又因为 2a1+3a2=1,所以 2a1+3a1=1,解得 a1=,6故 an= ,即 an= .13(13)-1 (1
11、3)(2)由(1)得 bn=an-an-1= =- ,(13)(13)-1 23(13)-1所以 bn是首项为 -,公比为的等比数列,因此其前 n 项和 Sn= -1.-231-(13)1-13 =(13)8. 导学号 04994047 已知数列 an的前 n 项和 Sn=an+n2-1,数列 bn满足3nbn+1=(n+1)an+1-nan,且 b1=3.(1)求 an,bn;(2)设 Tn为数列 bn的前 n 项和,求 Tn.解 (1)当 n2 时, Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1,两式相减,得 an=an-an-1+2n-1,a n-1=2n-1.a n=2n+1. 3nbn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.b n+1= ,4+33 当 n2 时, bn= .又 b1=3 适合上式,4-13-1b n= .4-13-1(2)由(1)知 bn= ,4-13-1T n= + ,31+73+1132 4-53-2+4-13-1Tn= + ,33+732+1133 4-53-1+4-13- ,得 Tn=3+ +43+432 43-14-137=3+413(1- 13-1)1-13 4-13=5- .5+43T n= .1524+523-1
