1、1第 2 课时 等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A 组1.已知数列 an是等比数列,给出以下数列: |an|; an-an+1; ; kan.则其中1一定是等比数列的是( )A. B. C. D.解析 当数列 an为 1,1,1,1,时,数列 an-an+1不是等比数列;当 k=0 时,数列 kan不是等比数列,而 |an|和 一定是等比数列 .1答案 C2.已知等比数列 an的公比为正数,且 a3a9=2 ,a2=1,则 a1=( )25A. B. C. D.222 2解析 设公比为 q,由已知,得 a1q2a1q8=2(a1q4)2.q2=2.因为等比数列 an的公比为正数,所以 q=
2、,所以 a1= ,故选 B.22=12=22答案 B3.已知等差数列 an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2=( )A.-4 B.-6 C.-8 D.-10解析 依题意可知 =a1a4,即( a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8,于是 a2=-8+2=-6.23答案 B4.已知等比数列 an的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+log3a10=( )A.12 B.10 C.1+log35 D.2+log35解析 因为 an是等比数列,所以 a5a6=a4a7=9,于是 log3a1+log3a2+log3a10=log3(
3、a1a2a10)=log3(a5a6)5=log395=10.答案 B5.在等比数列 an中,若 a7=-2,则该数列的前 13 项的乘积等于( )A.-213 B.213 C.26 D.-26解析 因为 an是等比数列,所以 a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8= ,于是该数列的前 13 项27的乘积为 a1a2a13= =(-2)13=-213.137答案 A6.已知数列 an是首项为 a1=4 的等比数列,且 4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比 q 等于 .2解析 依题意,得 2a5=4a1-2a3,即 2a1q4=4a1-2a1q2,整理,得 q4
4、+q2-2=0,解得 q2=1(q2=-2 舍去),所以 q=1 或 q=-1.答案 1 或 -17.已知数列 an是等比数列,且 a3+a5=18,a9+a11=144,则 a6+a8= . 解析 设 an的公比为 q,则 a9+a11=q6(a3+a5),于是 q6= =8,因此 q3=2 ,所9+113+5=14418 2以 a6+a8=q3(a3+a5)=36 .2答案 36 28.在两数 1,16 之间插入 3 个数,使它们成等比数列,则中间的数等于 . 解析 设插入的三个数分别为 a,b,c,则 b2=16,b= 4.设其公比为 q,b= 1q20,b= 4.答案 49.等比数列
5、an同时满足下列三个条件: a 1+a6=11,a 3a4= , 三个数 a2, ,a4+依次329 23成等差数列,试求数列 an的通项公式 .解 由等比数列的性质知 a1a6=a3a4= ,所以 解得329 1+6=11,16=329,时, q=2,所以 an=2n-1,1=13,6=323或 1=323,6=13. 当 1=13,6=323这时 a2+a4+ ,2 ,所以 a2, ,a4+成等差数列, 故 an=2n-1.49=329 23=329 23当 时 ,q=,an=26-n, a2+a4+2 ,不符合题意 .1=323,6=13 23故通项公式 an= 2n-1.1310. 导
6、学号 04994043 设 an是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求 an.解 设数列 an的首项为 a1,公比为 q,b 1+b2+b3=3, log2a1+log2a2+log2a3=3, log2(a1a2a3)=3,a 1a2a3=8,a 2=2.b 1b2b3=-3, log2a1log2a2log2a3=-3, log2a1log2a3=-3, log2 log2a2q=-3,23即(log 2a2-log2q)(log2a2+log2q)=-3,即(1 -log2q)(1+log2q)=-3,解得 log2q=2.当 log2
7、q=2 时, q=4,a1= ,所以 an=4n-1=22n-3;2=12当 log2q=-2 时, q=,a1= =8,所以 an=8 =25-2n.2 (14)-1B 组1.已知数列 an满足 log3an+1=log3an+1(nN *),且 a2+a4+a6=9,则 lo (a5+a7+a9)的值为( )13A.-5 B.- C.5 D.解析 log3an+1=log3an+1, =3,+1 数列 an是等比数列,公比 q=3, lo (a5+a7+a9)=lo (a2q3+a4q3+a6q3)=lo (a2+a4+a6)13 13 13q3=lo (933)=-5.13答案 A2.某
8、工厂去年产值为 a,计划 10 年内每年比上一年产值增长 10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过 2a ( )A.6 B.7 C.8 D.9解析 设从今年起第 n 年这个工厂的产值为 an,则 a1=1.1a,a2=1.12a,an=1.1na.依题意,得1.1na2a,即 1.1n2,解得 n8 .答案 C3.已知各项都为正数的等比数列 an中, a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足 anan+1an+2的最大正整数 n 的值为( )A.3 B.4 C.5 D.6解析 由 a2a4=4,a1+a2+a3=14 可求得 a1=8,q=,于是 an=8 =24-n,从而 anan
9、+1an+2=24-(12)-1n23-n22-n=29-3n.令 29-3n,经检验知,最大正整数 n 的值为 4.答案 B4.若实数 a,b,c 成等差数列, a+1,b+1,c+4 成等比数列,且 a+b+c=15,则 a,b,c 的值分别为 .解析 依题意可得 2=+,(+1)2=(+1)(+4),+=15, 解得 =2,=5,=8或 =11,=5,=-1.答案 2,5,8 或 11,5,-15.在正项等比数列 an中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n= . 解析 设数列 an的公比为 q,由 a1a2a3=4= q3与 a4a5a6=1
10、2= q12可得 q9=3.又 an-31 3141anan+1= q3n-3=324,因此 q3n-6=81=34=q36,所以 n=14.31答案 146.在公差不为零的等差数列 an中,2 a3- +2a11=0,数列 bn是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8= .27解析 2a3- +2a11=2(a3+a11)- =4a7- =0,27 27 27又 b7=a70, b 7=a7=4.b 6b8= =16.27答案 167. 导学号 04994044 等差数列 an的公差和等比数列 bn的公比都是 d(d1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求实数 a1和 d 的
11、值;(2)b16是不是 an中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由 .解 (1)设数列 an,bn的通项公式分别为 an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.由 4=4,10=10,得 1+3=13,1+9=19.即 3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).以上两式相除,整理得 d6+d3-2=0.解得 d3=1 或 d3=-2.d 1, d 3=-2.d=- .32代入原方程中,解得 a1= .故 a1= ,d=- .32 32 32(2)由(1)得,数列 an,bn的通项公式分别为 an=(2-n) ,bn=-(- )n.32 32故 b16=-(- )1
12、6=-32 .32 32由(2 -n) =-32 ,解得 n=34.32 32故 b16为 an的第 34 项 .8.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午 8 时和晚上 20 时各服一片 .现知该药片每片含药量为 220 毫克,若人的肾脏每 12 小时从体内滤出这种药的 60%,该药物在人体内的残留量超过 380 毫克,就将产生副作用 .(1)某人上午 8 时第一次服药,问到第二天上午 8 时服完药后,这种药在他体内还残留多少?(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由 . 解 (1)设人第 n 次服药后,药在体内的残留量为 an毫克,则 a1=220,a2=220+a1(1-60%)=2201.4=308,a3=220+a2(1-60%)=343.2,即到第二天上午 8 时服完药后,这种药在他体内还残留 343.2 毫克 .(2)由题意,得 an+1=220+an,a n+1- ,1 1003 =25(-1 1003 ) 是以 a1- =- 为首项,为公比的等比数列 ,-1 1003 1 1003 44035a n- =- ,1 1003 4403(25)-1- 0,4403(25)-1a n =366,1 1003a n380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用 .
