1、1第 1 课时 等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A 组1.若 a,b,c 成等差数列,则 一定( )(13),(13),(13)A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析 因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,于是 ,所以(13)2=(13)2=(13)+=(13)(13)一定是等比数列 .(13),(13),(13)答案 B2.在等比数列 an中, a2 017=-8a2 014,则公比 q 等于( )A.2 B.-2 C.2 D.解析 由 a2 017=-8a2 014,得 a1q2 016=-8a1q2 013,所以 q
2、3=-8,故 q=-2.答案 B3.在等比数列 an中, an0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5的值为( )A.16 B.27 C.36 D.81解析 由 a2=1-a1,a4=9-a3,得 a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为 q,则 q2= =9.因为 an0,所以3+41+2q=3,于是 a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案 B4.已知等差数列 an的公差为 2,若 a1,a3,a4成等比数列,则 a2=( )A.-4 B.-6 C.-8 D.-10解析 a 4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列, =a1a4,即( a1+4)2=a1(a
3、1+6),23解得 a1=-8,a 2=a1+2=-6.故选 B.答案 B5.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( )A.2n-1 B. C. D.(32)-1 (23)-1 12-1解析 由 Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn+1-Sn),即 2Sn+1=3Sn, .又 S1=a1=1,所以 Sn= ,故选+1=32 (32)-1B.答案 B6.已知等比数列 an,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an= . 2解析 设公比为 q. =q7= =27,q= 2.103 3843a n=a3qn-3=32n-3.答案 32n-37.在数列 a
4、n中,已知 a1=3,且对任意正整数 n 都有 2an+1-an=0,则 an= . 解析 由 2an+1-an=0,得 ,所以数列 an是等比数列,公比为 .因为 a1=3,所以 an=3+1=12.(12)-1答案 3(12)-18.在等比数列 an中,若 a1=,q=2,则 a4与 a8的等比中项是 . 解析 依题意,得 a6=a1q5=25=4,而 a4与 a8的等比中项是 a6,故 a4与 a8的等比中项是 4.答案 49. 导学号 04994040 已知数列 an是等差数列,且 a2=3,a4+3a5=56.若 log2 bn=an.(1)求证:数列 bn是等比数列;(2)求数列
5、bn的通项公式 .(1)证明 由 log2 bn=an,得 bn= .2因为数列 an是等差数列,不妨设公差为 d,则 =2d,2d是与 n 无关的常数,所以数列 bn是等比数列 .-1= 22-1=2-1(2)解 由已知,得 1+=3,1+3+3(1+4)=56,解得 1=-1,=4, 于是 b1=2-1=,公比 q=2d=24=16,所以数列 bn的通项公式 bn=16n-1.10.已知数列 an满足 a1= ,且 an+1=an+ (nN *).78(1)求证: 是等比数列;-23(2)求数列 an的通项公式 .(1)证明 a n+1=an+,a n+1- an+ . .23=12 13
6、23=12(-23)+1-23-23=12 是首项为 ,公比为的等比数列 .-23 5243(2)解 a n- ,23=524(12)-1a n= .524(12)-1+23B 组1.若 a,b,c 成等差数列,而 a+1,b,c 和 a,b,c+2 都分别成等比数列,则 b 的值为( )A.16 B.15 C.14 D.12解析 依题意,得 解得2=+,2=(+1),2=(+2), =8,=12,=16.答案 D2.在等比数列 an中, a1=1,公比 |q|1 .若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于( )A.9 B.10 C.11 D.12解析 a m=a1a2a3a4a5=qq2
7、q3q4=q10=1q10,m= 11.答案 C3.已知等比数列 an,各项都是正数,且 a1, a3,2a2成等差数列,则 =( )9+107+8A.3+2 B.1- C.1+ D.3-22 2 2 2解析 由 a1, a3,2a2成等差数列,得 a3=a1+2a2.在等比数列 an中,有 a1q2=a1+2a1q,即 q2=1+2q,得q=1+ 或 1- (舍去),所以 =q2=(1+ )2=3+2 .2 29+107+8 2 2答案 A4.已知 -7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列, -4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则= . 2-12解析 由题意,得 a2-a1=
8、 =2, =(-4)(-1)=4.又 b2是等比数列中的第 3 项,-1-(-7)3 22所以 b2与第 1 项同号,即 b2=-2,所以 =-1.2-12 = 2-2答案 -15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比 q= . 解析 依题意,得 an=an+1+an+2,所以 an=anq+anq2.因为 an0,所以 q2+q-1=0,解得q= (q= 舍去) .-1+52 -1- 52答案-1+5246.若数列 a1, , ,是首项为 1,公比为 - 的等比数列,则 a5= . 21,32-1 2解析 由题意,得 =(- )n-1(n2),所以
9、 =- =(- )2, =(- )3, =(- )4,将-1 221 2,32 243 254 2上面的四个式子两边分别相乘,得 =(- )1+2+3+4=32.又 a1=1,所以 a5=32.51 2答案 327.已知数列 an满足 Sn=4an-1(nN *),求证:数列 an是等比数列,并求出其通项公式 .解 依题意,得当 n2 时, Sn-1=4an-1-1,所以 an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),即 3an=4an-1,所以 ,故数列 an是公比为的等比数列 .-1=43因为 S1=4a1-1,即 a1=4a1-1,所以 a1=,故数列 an的通项公式是 an
10、= .13(43)-18. 导学号 04994041 已知数列 an的前 n 项和 Sn=2an+1,(1)求证: an是等比数列,并求出其通项公式;(2)设 bn=an+1+2an,求证:数列 bn是等比数列 .证明 (1)S n=2an+1,S n+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,a n+1=2an.由已知及上式可知 an0 . 由 =2 知 an是等比数列 .+1由 a1=S1=2a1+1,得 a1=-1,a n=-2n-1.(2)由(1)知, an=-2n-1,b n=an+1+2an=-2n-22n-1=-22n=-2n+1=-42n-1. 数列 bn是等比数列 .
