1、1三 排序不等式课后篇巩固探究A 组1.顺序和 S、反序和 S、乱序和 S 的大小关系是( )A.S S S B.S S SC.S S S D.S S S解析 由排序不等式可得反序和乱序和顺序和 .答案 C2.设 x,y,z 均为正数, P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则 P 与 Q 的大小关系是( )A.P Q B.PQ C.P Q D.P0,则 x2 y2 z2,则由排序不等式可得顺序和为 P,乱序和为 Q,则 P Q.答案 A3.若 a0,a 1b1+a2b2a1b2+a2b1.且 a1b1+a2b2 a1b2+a2b1.12又 1=a1+a22 ,a 1a2 .121
2、4 0 a1a2+b1b2,12a 1b1+a2b2最大 .答案 A5.已知 a,b,cR +,则 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)( )A.大于零 B.大于或等于零C.小于零 D.小于或等于零解析 设 a b c0,则 a3 b3 c3,根据排序原理,得 a3a+b3b+c3c a3b+b3c+c3a.因为 ab ac bc,a2 b2 c2,所以 a3b+b3c+c3a a2bc+b2ca+c2ab.3所以 a4+b4+c4 a2bc+b2ca+c2ab,即 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0 .答案 B6.设 a1,a2,a3,a4是
3、1,2,3,4 的一个排序,则 a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是 . 解析 a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和 12+22+32+42=30,最小值为反序和 14+23+32+41=20.答案 20,307.如图所示,在矩形 OPAQ 中, a1 a2,b1 b2,若阴影部分的面积为 S1,空白部分的面积之和为 S2,则S1与 S2的大小关系是 . 解析 由题图可知, S1=a1b1+a2b2,而 S2=a1b2+a2b1,根据顺序和反序和,得 S1 S2.答案 S1 S28.若 a,b,c 为正数,求证 a3+b3+c33 abc.证明 不妨设 a b c0,则 a2 b2
4、 c20,由排序不等式,得 a3+b3 a2b+ab2,c3+b3 c2b+cb2,a3+c3 a2c+ac2,三式相加,得 2(a3+b3+c3) a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为 a2+b22 ab,c2+b22 cb,a2+c22 ac,所以 2(a3+b3+c3)6 abc,即 a3+b3+c33 abc(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .9.设 a,b 均为正数,求证 .()2+()2+证明 不妨设 a b0,则 a2 b20, 0,11由不等式性质,得 0.224则由排序不等式,可得 ,即 .21+2121+21 ()2+()2+10.设 a,b,c
5、 都是正数,求证 a+b+c .4+4+4证明 由题意不妨设 a b c0.由不等式的性质,知 a2 b2 c2,ab ac bc.根据排序原理,得 a2bc+ab2c+abc2 a3c+b3a+c3b. 又由不等式的性质,知 a3 b3 c3,且 a b c.再根据排序原理,得 a3c+b3a+c3b a4+b4+c4. 由 及不等式的传递性,得 a2bc+ab2c+abc2 a4+b4+c4.两边同除以 abc,得 a+b+c (当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .4+4+4B 组1.设 a,b,c0,则式子 M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab 与 0 的大小关系是(
6、)A.M0B.M0C.M 与 0 的大小关系与 a,b,c 的大小有关D.不能确定解析 不妨设 a b c0,则 a3 b3 c3,且 a4 b4 c4,则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4 ac4+ba4+cb4.又 a3 b3 c3,且 ab ac bc,a 4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3ca a3bc+b3ac+c3ab.a 5+b5+c5 a3bc+b3ac+c3ab.M 0 .答案 A52.若 00 B.F0C.F0 D.Fsin cos +sin cos +sin cos ,而 F=sin cos +sin cos +sin cos - (sin 2 +sin
7、 2 +sin 2 )12=sin cos +sin cos +sin cos -(sin cos +sin cos +sin cos )0.答案 A3. 导学号 26394057 车间里有 5 台机床同时出了故障,从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产 1 min 损失 5 元,经合理安排损失最少为( )A.420 元 B.400 元C.450 元 D.570 元解析 设从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第 1 台到第 5 台的顺序修复,则修复第一台需要 t1分钟,则停
8、产总时间为 5t1,修复第 2 台需要 t2分钟,则停产总时间为 4t2,修复第 5 台需要 t5分钟,则停产总时间为 t5,因此修复 5 台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使 5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值 .由排序不等式可知,当 t10,求证 1+x+x2+x2n(2 n+1)xn.证明 当 x1 时,因为 1 x x2 xn,所以由排序原理得 11+xx+x2x2+xnxn1 xn+xxn-1+ x+xn1,-1即 1+x2+x4+ ( n+1)xn. 2又 x,x2,xn,1 为序列 1,x,x2,xn的一个排列,所以 1x+xx2+xn-1xn+xn11 xn+xxn-1+xn-1x+xn1,因此 x+x3+ +xn( n+1)xn, 2-1+ ,得 1+x+x2+ (2 n+1)xn. 2当 0x x2 xn, 仍成立,故 也成立 .综上,原不等式成立 .
