1、1第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测试卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1若 i为虚数单位，则复数 z5i(34i)在复平面内对应的点所在的象限为( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应答案 A2 “复数 z是实数”的充分不必要条件为( )A| z| z B z zC z2是实数 D z 是实数z考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A解析 由| z| z可知 z必为实数，但由 z为实数不一定得出| z| z，如 z2，此时|z| z，故“| z| z”
2、是“ z为实数”的充分不必要条件3已知 a， bR，i 是虚数单位若 ai2 bi，则( a bi)2等于( )A34i B34iC43i D43i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 A解析 a， bR， ai2 bi， a2， b1，( a bi)2(2i) 234i.4若复数 z满足 i，其中 i是虚数单位，则 z等于( )z1 iA1i B1iC1i D1i考点 共轭复数的定义与应用2题点 利用定义求共轭复数答案 C解析 (1i)ii 2i1i， z1i.z5下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A(1i) 2 Bi 2(1i)Ci(1i) 2 Di(1i)考点 复数的乘
3、除法运算法则题点 复数的乘除法运算法则答案 A解析 A 项，(1i) 212ii 22i，是纯虚数；B项，i 2(1i)(1i)1i，不是纯虚数；C项，i(1i) 2i(12ii 2)2i 22，不是纯虚数；D项，i(1i)ii 21i，不是纯虚数故选 A.6在复平面内， O是原点， ， ， 对应的复数分别为2i，32i,15i，i 为虚数单OA OC AB 位，那么 对应的复数为( )BC A47i B13iC44i D16i考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与向量的对应答案 C解析 因为 ， ， 对应的复数分别为2i,32i,15i， ( )，OA OC AB BC OC OB O
4、C OA AB 所以 对应的复数为 32i(2i)(15i)44i.BC 7已知复数 z i，i 为虚数单位，则 | z|等于( )12 32 zA i B i12 32 12 32C. i D. i12 32 12 32考点 复数加减法的运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D3解析 因为 z i，12 32所以 | z| iz12 32 ( 12)2 (32)2 i.12 328已知 i是虚数单位，若 z(i1)i，则| z|等于( )A1 B.22C. D.32 12考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 z(i1)i， z (1i)，ii 1 i1 i2 12
5、则| z| .229已知复数 z满足(1i) zi 2 016(其中 i为虚数单位)，则 的虚部为( )zA. B12 12C. i D i12 12考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 i 41，i 2 016(i 4)5041， z ，则 i， 的虚部为 .11 i 1 i2 z 12 12 z 1210已知关于复数 z 的四个命题： p1：| z|2， p2： z22i， p3： z的共轭复数为21 i1i， p4： z在复平面内对应的点位于第四象限其中的真命题为( )A p2， p3 B p1， p4C p2， p4 D p3， p4考点 复数的乘除法
6、运算法则题点 乘除法的综合应用答案 D4解析 z 1i，21 i 21 i1 i1 ip1：| z| .1 12 2p2： z2(1i) 22i.p3： z的共轭复数为 1i，真命题p4： z在复平面内对应点的坐标为(1，1)，位于第四象限，真命题故选 D.11已知复数 z12i， z2在复平面内对应的点在直线 x1 上，且满足 1z2是实数，则zz2等于( )A1 i B1 i12 12C. i D. i12 12考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 B解析 由 z12i，得 12i，z由 z2在复平面内对应的点在直线 x1 上，可设 z21 bi(bR)，则 1z2(2i)
7、(1 bi)2 b(2 b1)i.z又 1z2为实数，所以 2b10， b .z12所以 z21 i.1212如果复数 z满足| z2i| z2i|4，那么| zi1|的最小值是( )A1 B. 2C2 D. 5考点 复数几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积答案 A解析 设复数2i,2i，(1i)在复平面内对应的点分别为 Z1， Z2， Z3，因为|z2i| z2i|4，| Z1Z2|4，所以复数 z的几何意义为线段 Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点 Z在线段 Z1Z2上移动，求 ZZ3的最小值因此作 Z3Z0 Z1Z2于 Z0，则 Z3与 Z0的距离即为所求的最小值，|
8、 Z0Z3|1.故选 A.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)13已知 i是虚数单位，若 bi( a， bR)，则 ab的值为_a 3ii5考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题答案 3解析 bi， a3i( bi)i，a 3ii则 a3i1 bi，可得Error! ab3.14已知复数 z ，i 为虚数单位， 是 z的共轭复数，则 z _.3 i1 3i2 z z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 14解析 z ( i)，| z| ，14 3 12 z | z|2 .z1415已知 m， nR，若 log2(m23 m3)il
9、og 2(m2)为纯虚数，复数 z m ni的对应点在直线 x y20 上，则| z|_.考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 2 5解析 由纯虚数的定义知Error!解得 m4，所以 z4 ni.因为 z的对应点在直线 x y20 上，所以 4 n20，所以 n2.所以 z42i，所以| z| 2 .42 22 516下列说法中正确的是_(填序号)若(2 x1)i y(3 y)i，其中 xR， y CR，则必有 Error!2i1i；虚轴上的点表示的数都是纯虚数；若一个数是实数，则其虚部不存在；若 z ，则 z31 对应的点在复平面内的第一象限1i考点 复数的概念6题点 复数的概
10、念及分类答案 解析 由 y CR，知 y是虚数，则Error!不成立，故错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故错误；原点也在虚轴上，表示实数 0，故错误；实数的虚部为 0，故错误；中 z31 1i1，对应点在第一象限，故正确1i3三、解答题(本大题共 6小题，共 70分)17(10 分)设复数 zlg( m22 m2)( m23 m2)i，当 m为何值时，(1)z是实数？(2) z是纯虚数？考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)要使复数 z为实数，需满足Error!解得 m2 或1.即当 m2 或1 时， z是实数(2)要使复数 z为纯虚数，需满足Error!解得 m3.即当
11、 m3 时， z是纯虚数18(12 分)已知复数 z .1 i2 31 i2 i(1)求 z的共轭复数 ；z(2)若 az b1i，求实数 a， b的值考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的方程问题解 (1)因为 z 1i， 2i 3 3i2 i 3 i2 i所以 1i.z(2)由题意得 a(1i) b1i，即 a b ai1i.解得 a1， b2.19(12 分)已知复数 z1满足(1i) z115i， z2 a2i，其中 i为虚数单位，aR，若| z1 2|z1|，求 a的取值范围z考点 转化与化归思想在复数中的应用题点 转化与化归思想的应用解 因为 z1 23i， 1 5i1
12、 i7z2 a2i，2 a2i，z所以| z1 2|(23i)( a2i)|z|4 a2i| ，4 a2 4又因为| z1| ，| z1 2|z1|，13 z所以 ，4 a2 4 13所以 a28 a70，解得 1a7.所以 a的取值范围是(1,7)20(12 分)已知 z1 m2 i， z2(2 m3) i， mR，i 为虚数单位，且 z1 z2是纯虚1m 1 12数(1)求实数 m的值；(2)求 z1 2的值z考点 复数加减法的运算法则题点 复数加减法的综合应用解 (1) z1 z2( m22 m3) i，(1m 1 12) z1 z2是纯虚数，Error!则 m1.(2)由(1)得 z1
13、1 i， z21 i，12 12则 21 i，z12 z1 2z (112i)( 1 12i) 2 i.(112i) (34 i) 3421(12 分)已知复数 z1满足( z12)(1i)1i(i 为虚数单位)，复数 z2的虚部为 2，且z1z2是实数，求 z2.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 ( z12)(1i)1i， z12 i，1 i1 i 1 i21 i1 i 2i2 z12i.设 z2 a2i( aR)，8则 z1z2(2i)( a2i)(2 a2)(4 a)i.又 z1z2R， a4， z242i.22(12 分)已知复数 z满足| z| ， z2的虚部是 2
14、.2(1)求复数 z；(2)设 z， z2， z z2在复平面上的对应点分别为 A， B， C，求 ABC的面积考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积问题解 (1)设 z a bi(a， bR)，则 z2 a2 b22 abi，由题意得 a2 b22 且 2ab2，解得 a b1 或 a b1，所以 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时， z22i， z z21i，所以 A(1,1)， B(0,2)， C(1，1)，所以 S ABC1.当 z1i 时， z22i， z z213i，所以 A(1，1)， B(0,2)， C(1，3)，所以 S ABC1.综上， ABC的面积为 1.
