1、1第 3课时 三角形中的几何计算课后篇巩固探究A组1.在 ABC中, AB=2,BC=5, ABC的面积为 4,则 cos ABC等于( )A. B. C.- D.解析 由 S=ABBCsin ABC,得 4=25sin ABC,解得 sin ABC=,从而 cos ABC=.答案 B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境 .已知这种草皮的价格为 a元 /m2,则购买这种草皮需要( )A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元解析 由已知可求得草皮的面积为 S=2030sin 150=150(m2),则购买草皮的费用为150a元 .答
2、案 C3.在 ABC中, a,b,c分别为角 A,B,C的对边,若 2b=a+c,B=30, ABC的面积为,则 b等于( )A.1+ B. C. D.2+31+32 2+32 3解析 由 acsin 30=,得 ac=6.由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6 ,得 b= +1.3 3 3答案 A4.在 ABC中,若 AC= BC,C= ,S ABC= sin2A,则 S ABC=( )36 3A. B. C. D.234 32 3解析 因为 AB2=BC2+3BC2-2BC BC =BC2,所以 A=C= ,所以 S ABC= s
3、in2A= ,故选 A.332 6 3 34答案 A5.若 ABC的周长等于 20,面积是 10 ,B=60,则边 AC的长是( )3A.5 B.6 C.7 D.8解析 在 ABC中,设 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 B=60,由题意,得解得 b=7,故边 AC的长为 7.60=2+2-22 ,1260=103,+=20, 即 2=2+2-,=40,+=20, 答案 C26.已知 ABC的三边分别为 a,b,c,且面积 S= ,则角 C= . 2+2-24解析 在 ABC中, S ABC= ,2+b2-24而 S ABC=absin C, absin C.2+2-24 =12由余弦
4、定理,得 c2=a2+b2-2abcos C, cos C=sin C,C= 45.答案 457.已知三角形的面积为,其外接圆面积为 ,则这个三角形的三边之积等于 . 解析 设三角形的外接圆半径为 R,则由 R2=,得 R=1.由 S=absin C= ,故4=4=14abc=1.答案 18.在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,求证: =c . ( - )证明 由余弦定理的推论得 cos B= ,2+2-22cos A= ,代入等式右边,得2+2-22右边 =c(2+2-22 -2+2-22)= =左边,22-222 =2-2 =故原式得证 .9.如图,在 ABC中, BC
5、=5,AC=4,cos CAD= ,且 AD=BD,求 ABC的面积 .3132解 设 CD=x,则 AD=BD=5-x.在 CAD中,由余弦定理,得cos CAD= ,解得 x=1.42+(5-)2-224(5-) =31323CD= 1,AD=BD=4.在 CAD中,由正弦定理,得 ,= 则 sin C= =4 . 1-21-(3132)2=387S ABC=ACBCsin C=45 ,故 ABC的面积为 .387=1547 154710. 导学号 04994016若 ABC的三边长分别为 a,b,c,面积为 S,且 S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积 S的最大值 .解 S=c2-
6、(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得 a2+b2-c2=2abcos C,c 2-(a-b)2=2ab(1-cos C),即 S=2ab(1-cos C).S=ab sin C, sin C=4(1-cos C).又 sin2C+cos2C=1, 17cos2C-32cos C+15=0,解得 cos C= 或 cos C=1(舍去) .1517 sin C= ,817S=ab sin C= a(2-a)=- ( a-1)2+ .417 417 417a+b= 2, 0C ,C为锐角,且 cos C=5314.由 c2=a2+b2-2abcos
7、C,得 b2-11b+24=0,解得 b=3或 b=8.当 b=8时,角 B是1-2=1114钝角,cos B= 0,b= 8舍去 .同理验证可知 b=3符合条2+2-22 =49+25-64275 =17件 .S ABC=absin C=73 .5314=15344答案 C2.设 ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 3acos C=4csin A,若 ABC的面积S=10,b=4,则 a的值为( )A. B. C. D.233 253 263 283解析 由 3acos C=4csin A,得 .又由正弦定理 ,得 ,= 43 = = 43 tan C=, sin C=.
8、又 S=bcsin A=10,b=4,c sin A=5.根据正弦定理,得 a=,故选 B.=535=253答案 B3.在 ABC中, ab=60,S ABC=15 , ABC的外接圆半径为 ,则边 c的长为 . 3 3解析 S ABC=absin C=15 ,ab=60, sin C= .332由正弦定理,得 =2R,则 c=2Rsin C=3.答案 34.在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 ABC的面积为 3 ,b-c=2,cos 15A=-,则 a的值为 . 解析 S ABC=bcsin A=bc bc =3 ,bc= 24.1-2=12 154 15又 b-
9、c=2,a 2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc =4+224+24=64.(-14)a 为 ABC的边, a= 8.答案 85.在 ABC中, D为边 BC上一点, BD=DC, ADB=120,AD=2.若 ADC的面积为 3- ,则3 BAC= . 解析 如图,由 S ADC=3- 和 S ADC=ADDCsin 60,得 3- 2DC ,解得33=12 32DC=2( -1),则 BD=DC= -1.3 3在 ABD中, AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120=( -1)2+4-2( -1)2 =6,AB= .3 3 (-12) 6在 ADC中, A
10、C2=AD2+DC2-2ADDCcos 60=22+2( -1)2-222( -1)=24-12 ,3 3 3AC= -1).6(35在 ABC中,cos BAC= , BAC=60.2+2-22 =6+24-123-9(3-1)2266(3-1) =12答案 606. 导学号 04994017如图所示,已知圆内接四边形 ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD的面积 .解 连接 BD,则四边形 ABCD的面积为 S=S ABD+S CDB=ABADsin A+BCCDsin C.A+C= 180, sin A=sin C,S= (ABAD+BCCD)sin
11、A= (24+64)sin A=16sin A.在 ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A=22+42-224cos A=20-16cos A.在 CDB中,由余弦定理,得 BD2=CB2+CD2-2CBCDcos C=62+42-264cos C=52-48cos C. 20-16cos A=52-48cos C. cos C=-cos A, 64cos A=-32, cos A=-.又 A(0,180), A= 120,S= 16sin 120=8 .37.已知 ABC的外接圆半径为 R,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足 2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sin B,求 ABC面积的最大值 .2解 由正弦定理,得 a2-c2=( a-b)b,2即 a2+b2-c2= ab.2由余弦定理,得 cos C= .2+2-22 =22=22C (0,), C= .4S=ab sin C=2Rsin A2Rsin B22= R2sin Asin B2= R2sinA2 (22+22)6=R2(sin Acos A+sin2A)=R2(122+1-22 )=R2 .22(2-4)+12A . 2A- ,(0,34) 4(-4,54) sin ,S ,(2-4)(- 22,1 (0,2+12 2 ABC面积的最大值为 R2.2+12
