1、12.基本不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是( )A.若 3a+3b2 ,则 a0,b033B.若 2,则 a0,b0+C.若 a0,b0,且 a+b=4,则 11+1D.若 ab0,则2+解析 当 a,bR 时,则 3a0,3b0,所以 3a+3b2 (当且仅当 a=b时,等号成立),故选项 A错误 .要33使 2 成立,只要 0, 0即可,这时只要 a,b同号,故选项 B错误 .当 a0,b0,且 a+b=4时,则+ .因为 ab =4,所以 1(当且仅当 a=b=2时,等号成立),故选项 C错误 .当1+1=4 (+2 )2 1+1=4a0,b0时, a+b2 ,所以 .而当
2、a02+22= 2+时,一定有 (当且仅当 a=b,且 a,b0时,等号成立),故选项 D正确 .2+答案 D22.若 a0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 的最小值是( )1+13A.2 B.2 C.4 D.22 3解析 lg 2x+lg 8y=lg 2, lg(2x8y)=lg 2, 2x+3y=2,x+ 3y=1.x 0,y0, =(x+3y)1+13 (1+13)=2+ 2 +2 =4,3+3 33当且仅当 x=3y= 时,等号成立 .故选 C.12答案 C4.函数 f(x)=x+ -1的值域是 ( )4A.(- ,-35, + ) B.3,+ )C.(- ,-53, +
3、) D.(- ,-44, + )3解析 当 x0时, x+ -12 -1=3(当且仅当 x=2时,等号成立);当 x0,b0)过点(1,2),则 2a+b的最小值为 . +解析 直线 =1过点(1,2), =1.+ 1+2a 0,b0, 2a+b=(2a+b) =4+ 4 +2 =8.(1+2) (+4) 4当且仅当 b=2a时“ =”成立 .答案 87.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨,每次购买 x吨,运费为 6万元 /次,一年的总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x的值是 . 解析 一年的总运费与总存储费用之和为 4x+ 6=4 4 2
4、=240,当且仅当 x= ,600 (+900)900900即 x=30时等号成立 .答案 308.已知 x1,y1,且 xy=1 000,求 lg xlg y的最大值 .解 因为 x1,y1,所以 lg x0,lg y0,所以 lg xlg y (+2 )2=(2)24= ,(1 0002 )2=(32)2=94当且仅当 lg x=lg y,即 x=y时,等号成立,故 lg xlg y的最大值等于 .949.已知 x0,y0,x+y=1,求证 9 .(1+1)(1+1)证明 左边 =(1+1)(1+1)=(1+ )(1+ )= =5+2 5 +4=9,(2+)(2+) (+)当且仅当 ,即
5、x=y= 时,等号成立,所以 9 .= 12 (1+1)(1+1)10.某单位建造一间地面面积为 12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度 x不得超过 5米 .房屋正面的造价为 400元 /平方米,房屋侧面的造价为 150元 /平方米,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元 .如果墙高为 3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?解 设侧面的长度为 x米(0 t2 B.t1h =h ,1+2 1+212 21212 212t2= =h t2.21+22 41+2 4212 212答案 A3.(2017天津高考)若 a,bR, ab0,则 的最小
6、值为 . 4+44+1解析 a ,bR,且 ab0, =4ab+4+44+1 422+1 14 .(当且仅当 2=22,4=1,即 2=22,2=24时取等号 )答案 464. 导学号 26394006已知关于 x的二次不等式 ax2+2x+b0的解集为 ,且|-1ab,则 的最小值为 . 2+2-解析 由已知可得关于 x的方程 ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是 = 4-4ab=0,则 ab=1,所以=(a-b)+ 2 =22+2-=(-)2+2- 2- (-) 2-,故 的最小值为 2 .2(当且仅当 -= 2-时 ,等号成立 ) 2+2- 2答案 2 25.已知 a2,求证 l
7、og(a-1)aloga(a+1).证明 log(a-1)a-loga(a+1)=(-1)(+1)= ,2-(-1)(+1)(-1)而 lg(a-1)lg(a+1)0.又 a2, lg alg(a-1)0, 0,2-(-1)(+1)(-1)即 log(a-1)a-loga(a+1)0, log(a-1)aloga(a+1).6. 导学号 26394007某水晶制品厂去年的年产量为 10万件,每件水晶产品的销售价格为 100元,固定成本为 80元 .从今年起,工厂投入 100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入 100万元进行技术革新 .预计产量每年递增 1万件,每件水晶产品的固定成本
8、 g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数 n的关系是 g(n)= .若水晶产品的销售价格不变,第 n次投入80+1后的年利润为 f(n)万元 .7(1)求出 f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?解 (1)第 n次投入后,产量为(10 +n)万件,销售价格为 100元,固定成本为 元,进行技术革新投80+1入为 100n万元 .所以,年利润为 f(n)=(10+n) -100n(nN +).(100- 80+1)(2)由(1)知 f(n)=(10+n) -100n(100- 80+1)=1 000-80 520 .(+1+ 9+1)当且仅当 ,+1= 9+1即 n=8时,利润最高,最高利润为 520万元 .所以,从今年算起第 8年利润最高,最高利润为 520万元 .
