1、1考点 46 圆的标准方程要点阐述1圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆确定一个圆的基本要素是圆心和半径2设圆的圆心是 A（ a， b） ，半径长为 r，则圆的标准方程是（ x a） 2（ y b） 2 r2，当圆的圆心在坐标原点，圆的半径为 r 时，则圆的标准方程是 x2 y2 r23设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，点 P 在圆外 dr ;点 P 在圆上 d r；点 P 在圆内 dr 典型例题【例】圆心为（0，4） ，且过点（3，0）的圆的方程为（ ）A x2+（ y 4） 2 =25 B x2+（ y +4） 2=25C （ x4） 2+y2=25 D （
2、 x+4） 2+y2=25【解题技巧】由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性小试牛刀1圆（ x2） 2+（ y+3） 2=2 的圆心和半径分别是（ ）A （2，3） ，1 B （2，3） ，3C （2，3） ， D （2，3） ， 2【答案】D【解析】由圆的标准方程可得圆心坐标为（2，3） ，半径为 2【规律方法】圆的标准方程（ xa） 2+（ yb） 2=r2 中有三个参数 a， b， r，因此只要确定出这三个量，就可以确定圆的标准方程，而确定这三个参数（未知数）则需要三个独立条件，其中圆心
3、确定圆的位置，半径确定圆的大小2方程( x a)2( y b)20 表示的图形是( )A以( a， b)为圆心的圆 B以( a， b)为圆心的圆C点( a， b) D点( a， b)【答案】C【解析】方程( x a)2( y b)20，解得Error!，因此它只表示一个点 (a， b)，故选 C3已知点 A(4，5)， B(6，1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )A( x1) 2( y3) 229 B( x1) 2( y3) 229C( x1) 2( y3) 2116 D( x1) 2( y3) 2116【答案】B【解析】圆心在线段 AB 的中点(1，3)，半径为 ，所以所求|AB|
4、2 12 6 4 2 1 5 2 29圆的方程为( x1) 2( y3) 229故选 B4若直线 y ax b 经过第一、二、四象限，则圆( x a)2( y b)21 的圆心位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】由题意，知( a， b)为圆( x a)2( y b)21 的圆心由直线 y ax b 经过第一、二、四象限，得到 a0， b0，即 a0， b0，故圆心位于第四象限5 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ） A x2+（ y2） 2=1 B x2+（ y+2） 2=1C （ x1） 2+（ y3） 2 =1 D x2+（
5、 y3） 2=1【答案】A36求圆心在直线 x2y3 =0 上，且过点 A（2，3） ， B（2，5）的圆的标准方程解法二：设所求圆的标准方程为（ xa） 2+（ yb） 2=r2由条件知22()35)0abr，解得 210,br.故所求圆的标准方程为：（ x+1） 2+（ y+2） 2=10解法三：线段 AB 的中点为（0，4） ， 3(5)12ABk弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k= 2线段 AB 的垂直平分线的方程为： y+4=2x，即 y=2x4，圆心是直线 y=2x4 与直线 x2y3=0 的交点，由 30x， ， 得 1，即圆心为（1，2） ，圆的半径为 22(1)(3)10r故
6、所求圆的标准方程为（ x+1） 2+（ y+2） 2=10【解题反思】本题的三种解法各有优劣，解法一采用圆的定义；解法二采用待定系数法构造方程，此解法是通法，但计算量较大；解法三从另一个角度，借助圆的几何性质进行求解，此法较好，减少了计算量考题速递1 圆心为(2，3)，一条直径的两端点分别在 x 轴、 y 轴上，则此圆的方程是( )4A( x2) 2( y3) 213 B( x2) 2( y3) 213C( x2) 2( y3) 252 D( x2) 2( y3) 252【答案】A【解析】利用平面几何知识得 r 2 0 2 3 0 2 132 与圆( x2) 2( y3) 216 同圆心且过点
7、 P(1,1)的圆的方程为_【答案】( x2) 2( y3) 225【解析】因为已知圆的圆心为(2，3)，所以所求圆的圆心为(2，3)又 r5，所以所求圆的方程为( x2) 2( y3) 225 2 1 2 3 1 23 已知 A（4，5） ， B（6，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的方程为 【答案】（ x 1） 2+（ y+3） 2=29【解析】 AB 的中点（1，3）为圆心， | AB|= 22(64)(15)= 6= 29 R= 4已知直线 l 与圆 C 相交于点 P(1,0)和点 Q(0,1)（1）求圆心所在的直线方程；（2）若圆 C 的半径为 1，求圆 C 的方程数学文化井盖为什么是圆的通过学习圆我们知道：圆有无数条半径和直径，而且在同一个圆内所有半径与直径的长度都相等，半径的长度是直径的一半因为圆形的每一条直径都是相等的，井盖做成圆形的话，这样无论怎么放置，盖子5都不会掉到井里去了从数学的角度来分析，它就是利用了同一个圆内的直径都相等只有圆形的井盖找不到对角线，这样不论怎么移动井盖，盖子都不会掉下去，那么在下面施工的工作人员就有安全保障了其实除了安全以外，井盖做成圆形还有另一个好处就是便于运输井盖大部分都是铁制品，一般需要几个人共同合作才能搬动把井盖制成圆形以后，工人们就可以将井盖滚动起来，这样运输便省力多了
