1、12.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号二面角的概念及求解 3,6,10面面垂直的定义及判定定理的理解 1,2面面垂直的判定 4,5综合问题 7,8,9,11,121.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有 B 正确.2.(2018江西三市联考)设 a,b 是两
2、条不同的直线, 是两个不同的平面,则( C )(A)若 a,b,则 ab (B)若 a,a,则 (C)若 ab,a,则 b (D)若 a,则 a解析:选项 A.若 a,b,则 ab,或 a,b 异面或 a,b 相交,A 错;选项 B.若 a,a,则,或 =b,B 错;选项 C.若 ab,a,则 b,C 正确;选项 D.若 a,则a 或 a 或 a,D 错.故选 C.3.如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一点(不同于 A,B)且 PA=AC,则二面角 P BC A 的大小为( C )(A)60 (B)30(C)45 (D)15解析:易得 BC平面 PAC,所以PCA 是
3、二面角 P BC A 的平面角,在 RtPAC 中,PA=AC,所以PCA=45.故选 C.4.如图所示,已知 PA矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )2(A)2 对 (B)3 对(C)4 对 (D)5 对解析:由 PA矩形 ABCD 知,平面 PAD平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCD;由 AB平面 PAD 知,平面 PAB平面 PAD;由 BC平面 PAB 知,平面 PBC平面 PAB;由 DC平面 PAD 知,平面PDC平面 PAD.故题图中互相垂直的平面有 5 对.选 D.5.如图,四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将
4、ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD平面 BCD,构成几何体 A BCD,则在几何体 A BCD 中,下列结论正确的是( D )(A)平面 ABD平面 ABC(B)平面 ADC平面 BDC(C)平面 ABC平面 BDC(D)平面 ADC平面 ABC解析:由已知得 BAAD,CDBD,又平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD,从而 CDAB,故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC,所以平面 ABC平面 ADC.选 D.6.如图所示,在ABC 中,ADBC,ABD 的面积是ACD 的面积的 2 倍.沿 AD 将ABC 翻折,使翻折后 BC平面 ACD,此时二面角 B AD C 的大
5、小为( C )(A)30 (B)45 (C)60 (D)90解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在 RtBCD 中,BDC=60,而 ADBD,CDAD,故BDC 是二面角 B AD C 的平面角,其大小为 60.故选 C.7.如图,ABC 是等腰直角三角形,BAC=90,AB=AC=1,将ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD平面 ACD,则折叠后 BC= . 解析:因为在原ABC 中,ADBC,所以折叠后有 ADBD,ADCD,所以BDC 是二面角 B AD C 的平面角.因为平面 ABD平面 ACD,所以BDC=90.3在 RtBCD 中,BDC=90,BD=CD=
6、,所以 BC= =1.答案:18.如图,三棱柱 ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1的中点.(1)证明:平面 BDC1平面 BDC;(2)平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知 BCCC 1,BCAC,CC 1AC=C,所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1平面 ACC1A1,所以 DC1BC.由题设知A 1DC1=ADC=45,所以CDC 1=90,即 DC1DC.又 DCBC=C,所以 DC1平面 BDC.又 DC1平面 BDC1,故平面 BDC1平面 BDC.(2)解:设棱锥 B DACC1的体积为
7、 V1,AC=1,由题意得 V1= 11= .又三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V=1,所以(V-V 1)V 1=11.故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 11.9.(2018兰州诊断)在直三棱柱 ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA 1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( B )(A) (B) (C) (D)解析:如图,设 D 为 BC 的中点,连接 AD,A1D,A1C,A1B,过 A 作 A1D 的垂线,垂足为 E,则BCA 1D,BCAD,所以 BC平面 A1AD,则 BCAE.又 AEA 1D,所以 AE平面 A1BC,由条件可得 AD= AB=
8、,4A1D= =2,由面积相等得AEA1D=AA1AD,即 AE= = ,故选 B.10.正方体 ABCD A1B1C1D1中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1 BD A 的正切值等于 .解析:设 AC 与 BD 相交于 O 点,因为 ABCD A1B1C1D1为正方体,所以 AOBD,又 AA1平面 ABCD,所以 AA1BD,又 AOAA 1=A,所以 BD平面 A1AO,所以 BDA 1O,所以A 1OA 为二面角 A1 BD A 的平面角,设正方体的棱长为 a,在直角A 1AO 中,AA 1=a,AO=a,所以 tanA 1OA= = .答案:11.四棱锥 P ABC
9、D 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BCD=60,E 是 CD 的中点,PA底面ABCD,PA= .(1)证明:平面 PBE平面 PAB;(2)求二面角 A BE P 的大小.(1)证明:如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且BCD=60知,BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点,所以 BECD.又 ABCD,所以 BEAB.5又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD,所以 PABE.而 PAAB=A,因此 BE平面 PAB.又 BE平面 PBE,所以平面 PBE平面 PAB.(2)解:由(1)知,BE平面 PAB,PB平面 PAB,所以 PBBE.又 ABBE,
10、所以PBA 是二面角 A BE P 的平面角.在 RtPAB 中,tanPBA= = ,PBA=60,故二面角 A BE P 的大小是 60.12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC A1B1C1中,AB=BB 1,AC1平面 A1BD,D 为 AC 的中点.(1)求证:B 1C平面 A1BD;(2)求证:B 1C1平面 ABB1A1;(3)设 E 是 CC1上一点,试确定 E 的位置使平面 A1BD平面 BDE,并说明理由.(1)证明:连接 AB1,与 A1B 相交于 M,则 M 为 A1B 的中点,连接 MD.又 D 为 AC 的中点,所以 B1CMD.又 B1C平面 A1BD,MD平面 A1BD,所以 B1C平面 A1BD.(2)证明:因为 AB=B1B,所以四边形 ABB1A1为正方形.所以 A1BAB 1.又因为 AC1平面 A1BD,所以 AC1A 1B.所以 A1B平面 AB1C1,所以 A1BB 1C1.又在棱柱 ABC A1B1C1中 BB1B 1C1,所以 B1C1平面 ABB1A.(3)解:当点 E 为 C1C 的中点时,平面 A1BD平面 BDE,因为 D,E 分别为 AC,C1C 的中点,6所以 DEAC 1.因为 AC1平面 A1BD,所以 DE平面 A1BD.又 DE平面 BDE,所以平面 A1BD平面 BDE.
