1、12.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】 知识点、方法 题号线面垂直的定义及判定定理的理解 1,2,3,5线面垂直的判定及证明 4,6,8,9直线与平面所成的角 7综合问题 10,11,121.(2018甘肃兰州二十七中高二上期末 )设 l,m 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若 l,lm,则 m (B)若 l,m,则 lm(C)若 lm,m,则 l (D)若 l,m,则 lm解析:易知 A 正确.B.l 与 m 可能异面,也可能平行.C.当 l 与 内两条相交直线垂直时,才能判定 l,D.l 与 m 可能平行、异面或相交.2.(2018广西桂林期末)
2、已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是( C )(A)若 m,n,则 mn(B)若 m,mn,则 n(C)若 m,n,则 mn(D)若 m,mn,则 n解析:对于选项 A,若 m,n,则 m 与 n 可能相交、平行或者异面;故 A 错误;对于 B,若 m,mn,则 n 与 可能平行或者 n 在 内;故 B 错误;对于 C,若 m,n,则 mn;故 C 正确;对于 D,若 m,mn,则 n,或 n 与 相交;故 D 错误.故选 C.3.在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离是( D )(A) (B)2 (C)3 (D)4
3、解析:如图所示,作 PDBC 于 D,连接 AD.因为 PA平面 ABC,所以 PACD.所以 CB平面 PAD,所以 ADBC.在ACD 中,AC=5,CD=3,2所以 AD=4.在 RtPAD 中,PA=8,AD=4,所以 PD= =4 .故选 D.4.已知 P 为ABC 所在平面外一点,PAPB,PBPC,PCPA,PH平面 ABC,垂足 H,则 H 为ABC 的( B )(A)重心 (B)垂心 (C)外心 (D)内心解析:连接 AH 并延长,交 BC 于 D,连接 BH 并延长,交 AC 于 E;因为 PAPB,PAPC,故 PA平面 PBC,故 PABC;因为 PH平面 ABC,故
4、PHBC,故 BC平面 PAH,故 AHBC;同理 BHAC;故 H 是ABC 的垂心.5.(2018唐山高二期末)ABC 所在平面 外一点 P 到三角形三顶点的距离相等,那么点P 在 内的射影一定是ABC 的( A )(A)外心 (B)内心(C)重心 (D)以上都不对解析:由题意 PA=PB=PC,PO平面 ABC,所以 POOA,POOB,POOC,所以由 HL 定理知 RtPOARtPOBRtPOC.于是 OA=OB=OC,所以 O 为三边中垂线的交点,O 是三角形的外心,故选 A.6.如图所示,PA平面 ABC,ABC 中 BCAC,则图中直角三角形的个数是( D )(A)1 (B)2
5、(C)3 (D)4解析: BC平面 PACBCPC,所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC.故选 D.7.(2018浙江杭州月考)如图所示,ACB=90,平面 ABC 外有一点 P,PC=4 cm,PF,PE 垂直于 BC,AC 于点 F,E,且 PF=PE=2 cm,那么 PC 与平面 ABC 所成角的大小为 . 3解析:过 P 作 PO 垂直于平面 ABC 于 O,连接 CO,则 CO 为ACB 的平分线.连接 OF,可证明CFO 为直角三角形,CO=2 ,RtPCO 中,cosPCO= ,PCO=45.答案:458.(2018陕西西安高一期末)在四棱锥 P ABCD 中,底面 A
6、BCD 是正方形,侧棱 PD底面ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,过 E 点作 EFPB 交 PB 于点 F.求证:(1)PA平面 DEB;(2)PB平面 DEF.证明:(1)连接 AC,BD,交于 O,连接 EO.因为底面 ABCD 是正方形,所以点 O 是 AC 的中点.所以在PAC 中,EO 是中位线,所以 PAEO,因为 EO平面 DEB,且 PA平面 DEB,所以 PA平面 DEB.(2)因为 PD底面 ABCD,且 BC底面 ABCD,所以 PDBC.因为底面 ABCD 是正方形,所以 DCBC,可得 BC平面 PDC.因为 DE平面 PDC,所以 BCDE.又因为 PD
7、=DC,E 是 PC 的中点,所以 DEPC.所以 DE平面 PBC.因为 PB平面 PBC,所以DEPB.又因为 EFPB,且 DEEF=E,所以 PB平面 DEF.9.如图甲所示,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE,AF及 EF 把这个正方形折成一个四面体,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 H,如图乙所示,那么,在四面体 A EFH 中必有( A )(A)AHEFH 所在平面 (B)AGEFH 所在平面4(C)HFAEF 所在平面 (D)HGAEF 所在平面解析:根据折叠前、后 AHHE,AHHF 不变,所以 AH平面 E
8、FH,故选 A.10.如图,四棱锥 S ABCD 的底面为正方形,SD底面 ABCD,给出下列结论:ACSB;AB平面 SCD;SA 与平面 ABD 所成的角等于 SC 与平面 ABD 所成的角;ACSO.正确结论的序号是 . 解析:连接 SO,如图所示,因为四棱锥 S ABCD 的底面为正方形,所以 ACBD.因为 SD底面 ABCD,所以 SDAC,因为 SDBD=D,所以 AC平面 SBD,因为 SB平面 SBD,所以 ACSB,则正确;因为 ABCD,AB平面 SCD,CD平面 SCD,所以 AB平面 SCD,则正确;因为 SD底面 ABCD,所以SAD 和SCD 分别是 SA 与平面
9、 ABD 所成的角、SC 与平面 ABD 所成的角,因为 AD=CD,SD=SD,所以SAD=SCD,则正确;因为 AC平面 SBD,SO平面 SBD,所以 ACSO,则正确.答案:11.(2018宁夏石嘴山第三中学高二上期末)侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC ABC满足BAC=90,AB=AC= AA=2,点 M,N 分别为 AB,BC的中点.5(1) 求证:MN平面 AACC;(2) 求证:AN平面 BCN;(3) 求三棱锥 C MNB 的体积.(1)证明:如图,连接 AB,AC,因为四边形 ABBA为矩形,M 为 AB 的中点,所以 AB与 AB 交于点 M,且 M 为 AB的中点,又点
10、N 为 BC的中点,所以 MNAC,又 MN平面 AACC,且 AC 平面 AACC,所以 MN平面 AACC.(2)证明:因为 AB=AC=2,点 N 为 BC的中点,所以 ANBC.又 BB平面 ABC,所以 ANBB,所以 AN平面 BCN.(3)解:由图可知 = ,因为BAC=90,所以 BC= =2 ,SBCN = 2 4=4 .由(2)及BAC=90可得 AN= ,因为 M 为 AB 的中点,所以 M 到平面 BCN 的距离为 ,所以 = = 4 = .12.如图(1),在 RtABC 中,C=90,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将ADE 沿
11、DE 折起到A 1DE 的位置,使 A1FCD,如图(2).(1)求证:DE平面 A1CB;(2)求证:A 1FBE;6(3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C平面 DEQ?说明理由.(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DEBC.又因为 DE平面 A1CB,BC平面 A1CB,所以 DE平面 A1CB.(2)证明:由已知得 ACBC 且 DEBC,所以 DEAC.所以 DEA 1D,DECD.所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC,所以 DEA 1F.又因为 A1FCD,所以 A1F平面 BCDE.所以 A1FBE.(3)解:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C平面 DEQ.理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQBC.又因为 DEBC,所以 DEPQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP.由(2)知,DE平面 A1DC,所以 DEA 1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点,所以 A1CDP.所以 A1C平面 DEP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C平面 DEQ.
